自然數交換律之證明
(1)為了給出自然數的嚴格定義，皮亞諾採用序數理論提出自然數集N的5條公理，被稱為皮亞諾公理。這五條公理用非形式化的方法敘述如下：
1.1是自然數；
2.每一個確定的自然數n都有一個確定的後繼者，記作n~或n+1。n+1也是自然數；
3.如果m、n都是自然數，並且m+1 = n+1的後繼數，那麼m = n；
4.1不是任何自然數的後繼者；
5.如果一些自然數的集合S具有性質:
若1在S中；且若n在S中，則n~(=n+1)也在S中。
那麼S = N。(這條公理保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理)
2014-03-02 00:44:22 補充：
(2)自然數加法(+)可經a+1= a~及a+b~=(a+b)~遞歸定義而成。
[命題或定理]若自然數N是指(1)中由皮亞諾五條公設所定義之集合；{N，+}中之+是由(2)所遞歸定義，則自然數交換律成立。
(即自然數交換律的確可以由結合律和皮亞諾第五公設-數學歸納法原理證得)
2014-03-02 00:45:18 補充：
[證明]
(1){N，+}中之+之定義定出自然數具有最簡單之結合律。即: a+b~=(a+b)~
< = > a+(b+1)=(a+b)+1。……(*)
(注意:此為結合律:a+(b+c)=(a+b)+c,……(**)
中 c=1之情況。)
2014-03-02 00:45:59 補充：
(2)由(*)用數學歸納法可以證明自然數結合律(**)成立。
[由(*) = > (**)之證明]
令S={s| a+(b+s)=(a+b)+s，其中a,b,s 屬於N}.
由(*)知1在S中；若n在S中，即
a+(b+n)=(a+b)+n成立，
則由(*)得
a+(b+n~)=a+(b+n)~
=a+((b+n)+1)
=(a+(b+n))+1
{因為: a+(b+n)=(a+b)+n成立}
=((a+b)+n)+1
{由(*)}
=(a+b)+(n+1)
=(a+b)+n~
因為已經證得: a+(b+n~)=(a+b)+n~
即n~在S中。
由數學歸納法知 S=N.
2014-03-02 00:46:34 補充：
即對所有:a,b,c屬於N，
a+(b+c)=(a+b)+c.
自然數結合律(**)成立證明完畢。
2014-03-02 00:47:31 補充：
(3)由自然數結合律(**)用數學歸納法可以證明自然數交換律:a+b=b+a……(***)成立。
[由(**) = > (***)之證明]
S={s| 1+s=s+1，其中s 屬於N}.
因為1+1=1+1，所以1在S中；
若n在S中，即
1+n=n+1成立，
則由(*)得
1+ n~=(1+n)~
{因為1+n=n+1成立}
=(n+1)~
=(n+1)+1
=n~+1
由數學歸納法知 S=N.
(上面證明了:1可以和任何自然數交換:
1+a=a+1,對於任何 a屬於N(=S)……(****))
2014-03-02 00:48:00 補充：
(下面要證明:
a+b=b+a 對於任何a,b屬於N成立。)
令T={t|a+t=t+a, t屬於N}.
由(****)知1在T中；
若n在T中，即
a+n=n+a成立，
則由(*)得
a+n~=(a+n)~
{因為 a+n=n+a成立}
=(n+a)~
=(n+a)+1
{由(*)}
=n+(a+1)
{由(****)}
=n+(1+a)
{由(**)}
=(n+1)+a
= n~+a
由數學歸納法知 T=N.
即:
a+t=t+a 對於任何a,t屬於N成立，
改符號:
a+b=b+a 對於任何a,b屬於N成立。
或
自然數交換律(:a+b=b+a)成立。
命題或定理證明完畢。
2014-03-02 01:00:31 補充：
這種證明理論上不難，但是要非常小心，
沒有證明過的式子絕對不能引用，
一般沒有受過訓練的人，不容易做到。
我為了讓大家都看得懂，不厭其煩的，
逐步的，幾乎每一個式子都寫出使用到的式子，
原因在此。
還有，這種證明很繁瑣，要有耐心，非常仔細的看才能
了解。
皮亞諾公設，和{N，+}中加法(+)之定義，請參考維基百科:
http://zh.wikipedia.org/wiki/自然數
祝你學安。
2014-03-02 01:17:21 補充：
還有，一般a之後繼數用:a(上指標+)表示(例如維基百科)，
但是上指標+在[知識+]無法打字出來。又a之後繼數也有人用S(a)表示，
因為會跟歸納法證法中所令之集合S相沖，因此也不使用。
所以才會使用a~(醜陋的符號)表示，敬請理解。
2014-03-03 19:40:33 補充：
問題1.維基上面有提到更正式的定義(*)，為何推導時不使用更正式的定義來推導?
→更正式的定義如下：一個戴德金-皮亞諾結構...
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9A%AE%E4%BA%9A%E8%AF%BA%E5%85%AC%E7%90%86
[ans] 非正式的定義用(**)表示。
(0) 非正式的定義(**)絕對是”正式”且”嚴格”的數學定義。
(1) 更正式的定義(*)並不比非正式的定義(**)更好，因為二者等價，即一樣好或一樣壞。
2014-03-03 19:40:54 補充：
(2)更正式的定義一看就知道是學邏輯或代數的人比較喜歡使用的，
因為他們是用集合的語言的。在分析的書上，哪怕是最有名的書，
也不會這樣寫，因為(*)的寫法少了自然數的直觀味道，分析工作者不會欣賞的。
(3)你可以試試，自己用更正式的定義(*)證證看。祝你成功。
