微積分考古題2

這樣講似乎可以但不夠嚴謹，現在我用基本的極限定義(ε-δ定理)來證明f(x)的極限不存在：

任給一個ε > 0，存在δ > 0，使得0 < │x - a│ < δ時，│f(x) - L│ < ε
若且唯若 lim(x→a) f(x) = L

假設在定義域[0,1]中任取一數a，lim(x→a) f(x)存在，令lim(x→a) f(x) = k

(1). Let x_1 is rational，x ≠ 0，then f(x_1) = 0
任意取ε_1 = 1/5，存在δ_1 > 0，0 < │x_1 - a│ < δ_1
使得│f(x_1) - k│ = │0 - k│ < ε_1

(2). Let x_2 is irrational or 0，then f(x_2) = 1
任意取ε_2 = 1/5，存在δ_2 > 0，0 < │x_2 - a│ < δ_2
使得│f(x_2) - k│ = │1 - k│ < ε_2

取│f(x_1) - f(x_2)│ = │0 - 1│ = 1 ......................................(1)

又│f(x_1) - f(x_2)│ = │[f(x_1) - k] - [f(x_2) - k]│ ≦ │f(x_1) - k│ + │f(x_2) - k│
≦ ε_1 + ε_2 = 1/5 + 1/5 = 2/5 ..........................................(2)

由(1)(2)知
│f(x_1) - f(x_2)│ = 1 < 2/5 顯然矛盾！

所以 lim(x→a) f(x) 不存在，即在[0,1]的定義域中，f(x)並不連續。

^___^






2014-02-25 09:10:13 補充：
謝謝分享...........

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Riemann integrable 不需要完整的連續性. 很多不連續的例子.
不過, Riemann integrable 有一個充分必要條件, 就是 f 在要
積分的區間 [a,b] 必須是 continuous almost everywhere, 就是
說: f 在 [a,b] 的不連續點具有 Lebesgue measure zero.

一個簡單的, 有無限多不連續點, 但可積分的例子是:

f(x) = 0 當 x = 1/n, n 是正整數
= 1 當 x 在 [0,1], 但不是上述 1/n 諸點.

2014-02-24 21:33:57 補充：
問題中的函數在 [0,1] 是處處不連續, 引用上述 Lebesgue condition
當然知道它 Riemann 不可積分. 事實上應用可積分定義證明它不可
積沒多難. Riemann 可積有兩個充要條件, 任一個當定義, 另一個就
是定理.

(1) Upper/lower sum 準則:
任意 partition 的 upper sum 與 lower sum 在此例都是相差 1,
upper sum 是 1, lower sum 是 0. 因此, 本例不符合此準則, 所
以不可積.

(2) Riemann sum 準則:
...

2014-02-24 21:34:10 補充：
(2) Riemann sum 準則:
任意 partition 可以取 Riemann sum 是 0, 是 1, 或是介於 0-1
之間的某個數. 那麼, 一個 sequence of partitions 取的 Riemann
sum 序列可以收斂到 1, 可以收斂到 0, 也可以收斂到介於 0-1
之間的任何數, 更可以不收斂. 也就是說, 本例不符合 Riemann
sum 的可積分準則.

2014-02-24 21:38:45 補充：
至於 Lebesgue 可積, 看 Lebesgue 積分如何定義. 事實上本例 f
是 simple function, [0,1] 被 f(x) 的值分成兩個可測集, 一是 [0,1]
中除 0 以外所有 rational numbers, 此集合具測度 0; 另一是 0 或
[0,1] 中的 irrational numbers, 此集合理所當然地具測度 1. 因此,
Lebesgue 積分 ∫_[0,1] f dλ = 0*0 + 1*1 = 1.

2014-02-24 21:49:43 補充：
Riemann integrable 兩個準則:

1) Upper/lower sum 準則:
設任取分割序列 P1, P2,... Pn,..., 每一個分割是前一個的細分.
若當 Pn 的 norm (Pn 之最大子區間長度) 收斂到 0 時, 對應的
upper sum 序列與 lower sum 序列收斂到共同極限, 那麼所論函
數在指定區間是可積分的, 該共同極限即為積分值.

2) Riemann sum 準則:
若當 Pn 的 norm 收斂到 0 時, 任意黎曼和序列都收斂到同一
個定值 A, 則該函數(在指定區間)可積分, A 即是其積分值.

函數Integrable的必要條件是：「函數是連續的，且有一個limit」

(1)這個命題應該不對。
(2)f不是 Riemann integrable
(3)f是 Lebesgue integrable

(2)和(3)的證明直接由定義處理即可，不過有點繁。

(2的證明參考:http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
Examples的部分。

(3)的證明參考:http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integrable
Example的部分。