這樣計算極限(limit)是對的嗎？請高手指教了

分母有兩個x，我可以只針對一個x去處理，而保留另一個x嗎？

不可.

問題: lim_{x->0} 0.5d/[x(x+0.5d)]

事實上可以寫成 lim_{x->0} h/[x(x+h)]

首先要考慮: h (或原來的 d) 與 x 有關嗎? 如有關, 就不能分開考慮.

事實上這題應如此考慮:

h/[x(x+h)] = (1/x)*[h/(x+h)].

若 h=0 則原式 h/[x(x+h)] 恆為 0, 極限當然也是 0.

若 h 不為 0, 則
因 lim_{x->0} h/(x+h) = 1, 存在, 且不為 0; 而 lim_{x->0} 1/x 不存在.
故 lim_{x->0} h/[x(x+h)] 不存在.


[定理]
若 x->a 時 f(x) 極限不存在, g(x) 極限存在且不為 0,
則 lim_{x->a} f(x)g(x) 不存在.

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這樣計算極限(limit)是對的嗎？請高手指教了.Ans: Limit(x->0)[0.5d/x(x+0.5d)]=lim(x->0)[y/x(x+y)].....y=0.5d=lim(x->0)[x/(x*2x)].....x=y≒0=lim(x,y->0)(1/2x)=lim(x,y->0)(1/0)=oo

我認為是這樣

以你的式子來看，d是當成constant為實數，所以只要討論d是否等於0的情況

當d = 0
lim 0.5d/[x(x+0.5d)] = lim [1/x - 1/(x+0.5d)] = lim (1/x - 1/x) = lim 0 = 0

當d ≠ 0
要從0兩邊逼近

當 x→0+, 令 y= 1/x, y→+∞
lim (y→+∞) 0.5d/[x(x+0.5d)] = 0.5d lim (y→+∞) y/[(1/y)+0.5d]
= 0.5d [lim (y→+∞) y]/0.5d = lim (y→+∞) y = +∞

2014-02-22 18:43:58 補充：
當 x→0-, 令 y= 1/x, y→ -∞
lim (y→ -∞) 0.5d/[x(x+0.5d)] = 0.5d lim (y→ -∞) y/[(1/y)+0.5d]
= 0.5d [lim (y→ -∞) y]/0.5d = lim (y→ -∞) y = -∞

兩邊極限不一樣，所以除了d=0之外，極限不存在

我的最後一式 lim (y→ +或-∞) y 其實和你的 lim (x→0) 1/x 是一樣的
所以基本上我認為你的算法是成立的，但要記得討論d是0的情況
我認為d=0此式的極限是存在的！

2014-02-22 22:11:50 補充：
我說我認為你的算法是成立的意思就是說

你把分子的0.5d 和分母的 x+0.5d 約掉是ok的

When d --> 0, Note that
0.5d/[x(x+0.5d)] = 1/x - 1/(x+0.5d) --> 2/x

Since x-->0, such limit does not exist.

2014-02-22 17:11:53 補充：
或者這樣說, 無論d 是否趨向0 ( 0<1 ), 因
0.5d/[x(x+0.5d)] = 1/x - 1/(x+0.5d)

只要x-->0, 則極限不存在。

2014-02-22 21:54:24 補充：
好吧, 我又把加減算錯了...最近精神不好啊@@, 抱歉

<請問>：若d趨近0，上下就不能夠約分嗎？會產生什麼困難呢？

此題也許還需提供 d 的資訊...
若d 限制在有界範圍中,且此有界範圍不包含0.
即 ∃a,b∈R s.t. d in (a,b) 且 (a,b)不包含0.
此時:
lim x→0 0.5d / ﹝x (x+0.5d)﹞
= lim x→0 c / ﹝x (x+c)﹞ , 令 c = 0.5d
= lim x→0 1 / ﹝x (x/c+1)﹞ (因為c不為0,分子分母同除以c)
= lim x→0 1 / ﹝x (0+1)﹞ (因為c有界且不為0)
= lim x→0 1 / x
= ∞

2014-02-22 13:58:54 補充：
以上是數學計算.
若用計算機驗證,例如用Excel,同樣可得到結果為∞
當然,前提是d 限制在有界範圍中,且此有界範圍不包含0.

若是以下任一情況:
d → 0
d → ∞
d → - ∞
(也許還有其他情況)
則此題結果就不一定是∞了

2014-02-22 16:01:29 補充：
輸入小於符號,最好前後都留空格,不然可能被系統自動砍掉.

若 d→0 , 則 c→0, x/c = 0/0 ,屬不定式,需用其他方式計算.
如果d與x都是獨立的變數,我也不知該如何計算這題.

2014-02-22 16:07:54 補充：
或者是不要想太複雜:
既然題目只有x→0
表示其他變數皆視為常數
所以 d 也是常數
那麼你的計算就沒問題,答案就是∞

如果題目改成 x→0, d→0
就是不同的情況

抱歉,我可能想太多了,只是提供另一種觀點...