微分方程式求特解 使用逆運算子 積分

使用部份分式法.把原式細分成兩部份.分別計算才簡單.不要合併計算容易錯誤.考試也是分開計算.才能夠快速取得分數:(D-1)(D-4)y=e^4tyh=a*e^t+b*e^4t.....a,b=常數yp=[1/(D-1)(D-4)]*e^4t=[1/(D-4)-1/(D-1)](e^4t)/3=e^4t/3(D-4)-e^4t/3(D-1)=y1-y2=t*e^4t/3-e^(4t)/9.....Note=版主第2答案
Note: 積分細節y1=e^4t∫e^(-4t)*e^4t*dt/3=e^4t*∫dt/3=t*e^4t/3y2=e^t∫e^(-t)*e^4t*dt/3=e^t∫∫e^3t*dt/3=e^t*e^3t/9=e^(4t)/9


通解:y(t)=yh+yp=(a*e^t+b*e^4t)+[t*e^4t/3-e^(4t)/9]=a*e^t+t*e^(4t)/3+(b-1/9)e^(4t)



2014-02-27 05:01:17 補充：
補充: 如果是重根.則合併計算比較簡單

Ex: yp=e^x/(D-1)^2

=e^x∫e^(-x)*e^(x)∫e^(-x)*e^(x)*dx*dx

=e^x∫∫dx*dx

=e^x∫xdx

=x^2*e^x/2

您多的那片是 e^t * e^3t = e^4t, 正是通解之一

yp 是特解，所有 yp+c*yh 也是特解

一般看到最乾淨就是不要包含通解項