微分方程式求特解使用逆運算子積分

2014-02-19 3:35 am

逆運算子有個重積分公式
以下積分符號
[1/(D-A)(D-B)]*R(t)=e^Bt ∫ e^(A-B)t ∫ e^(-At) dtdt

不過有個題目為什麼我A跟B互換算出來的卻不一樣..
題目:[1/(D-1)(D-4)]*e^4t

所以我有兩種寫法
1.[1/(D-1)(D-4)]*e^4t=e^4t ∫ e^(-3t) ∫ e^(-t)*e^4t dtdt
2.[1/(D-4)(D-1)]*e^4t=e^t ∫ e^(3t) ∫ e^(-4t)*e^4t dtdt

但是怎麼兩個算出來不一樣?

1.算出來是 1/3[t*e^4t]
2.算出來是 e^t[ (1/3)*te^3t - (1/9)*e^3t ]

有問題的是怎麼會多出 - (1/9)*e^3t 這項?
還是說有什麼運用上的限制? 感謝!

更新1:

發問完後突然知道特解非唯一!! 但是，如果考試是這兩種都可以寫嗎?? 還是說要如何判斷該寫哪種答案或者說只要符合的特解都可以寫? 感謝!

回答 (2)

麻辣

2014-02-19 3:19 pm

✔ 最佳答案

使用部份分式法.把原式細分成兩部份.分別計算才簡單.不要合併計算容易錯誤.考試也是分開計算.才能夠快速取得分數:(D-1)(D-4)y=e^4tyh=a*e^t+b*e^4t.....a,b=常數yp=[1/(D-1)(D-4)]*e^4t=[1/(D-4)-1/(D-1)](e^4t)/3=e^4t/3(D-4)-e^4t/3(D-1)=y1-y2=t*e^4t/3-e^(4t)/9.....Note=版主第2答案
Note: 積分細節y1=e^4t∫e^(-4t)*e^4t*dt/3=e^4t*∫dt/3=t*e^4t/3y2=e^t∫e^(-t)*e^4t*dt/3=e^t∫∫e^3t*dt/3=e^t*e^3t/9=e^(4t)/9

通解:y(t)=yh+yp=(a*e^t+b*e^4t)+[t*e^4t/3-e^(4t)/9]=a*e^t+t*e^(4t)/3+(b-1/9)e^(4t)

2014-02-27 05:01:17 補充：
補充: 如果是重根.則合併計算比較簡單

Ex: yp=e^x/(D-1)^2

=e^x∫e^(-x)*e^(x)∫e^(-x)*e^(x)*dx*dx

=e^x∫∫dx*dx

=e^x∫xdx

=x^2*e^x/2

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用戶9290

2014-02-19 9:29 am

您多的那片是 e^t * e^3t = e^4t, 正是通解之一

yp 是特解，所有 yp+c*yh 也是特解

一般看到最乾淨就是不要包含通解項

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收錄日期: 2021-05-02 11:08:59
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140218000015KK03697

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