微積分考古題6

lim(n→∞) Σ(k=1,n) ln (1+ k/n)^(1/n)
=lim(n→∞) Σ(k=1,n) (1/n) ln (1+ k/n)
=lim(n→∞) (1/n) Σ(k=1,n) ln (1+ k/n) ..........(1)

這個式子的物理意義是：



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD07982684/o/20140217112138.jpg

把x從0到1之間分成n等份，每一等份寬即為1/n，我們把此寬度稱為△x，
所以△x = 1/n，當n→∞，△x→0
x_1=1/n, x_2=2/n, x_3=3/n......依此類推

故(1)式
=lim(n→∞) (1/n) Σ(k=1,n) ln (1+ x_k)
=lim(△x→0) △x Σ(k=1,n) f(x_k) ............令 f(x) = ln (1+x) ......(2)
因為△x→0，所以就變成 dx，Σ就變成 ∫
所以(2)式
=∫(0,1) ln(1+x) dx.................∫(0,1)表示積分下限0上限1
令 u = ln (1+x), dv = dx 則 du = dx/(1+x), v = x
=x ln(1+x) - ∫ x/(1+x) dx
=x ln(1+x) - ∫ {1-[1/(1+x)]} dx
=x ln(1+x) - x + ln(1+x)
=(x+1) ln(1+x) - x│(0,1)
= 2(ln 2) - 1

^___^

ln(1+k/n)^{1/n} = (1/n) ln(1+k/n)

原式為黎曼和的極限, ln(1+x) 在 [0,1] 的定積分.