微積分考古題5（請高手幫忙看一下我的解答）

他要證的是 "不為均勻連續".

原則上這樣寫沒有錯, for any d > 0, |x-y| < d 且 x,y 均在指定範圍中, 但
|f(x)-f(y)| 可以任意大.

"不為均勻連續", 也就是 "均勻連續" 的否定, 就是:
存在 e > 0, 使得對任意 d > 0, 都存在 x, y 在指定範圍中, 並滿足 |x-y| < d,
但 |f(x)-f(y)| >= e.

2014-02-16 09:08:49 補充：
雖然說原則上這樣寫是把意思表達出來了, 不算錯. 但就考試而言, 建議還是
中規中矩地寫出上述 "不為均勻連續" 的證據比較好. 也就是說, 如 1F 寫的,
取一個 e > 0, 例如取 e=1, 證明對任意 d > 0 都找得到 x, y 在指定範圍內,
滿足 |x-y| < d 而 |f(x)-f(y)| 超過 e.

2014-02-17 11:45:10 補充：
你的證明基本上是對的, 但可以稍做修改, 使其更清楚傳達你的意思.


Uniformcontinuous的充要條件： For any e>0, there exists a d>0 such that
whenever |x-y|<d, x,y in [a,b], then |f(x)-f(y)|<e.

假設|x-y|=d/2,x,yin（0,1）……（1） ( 假設 d<1, 取 x, 0<x<1/2 後, 再取 y=x+d/2, 所以 0<y<1. )
則|x-y|<d|f(x)- f (y)|＝|1/x-1/y|=|(y-x)/xy|=|y-x|/xy(註：因為x、y均大於0，故可以去掉絕對值符號)＝|x-y|/xy…（2）將（1）代入（2），可得| f (x)- f(y)|=d/2xy
( |f(x)-f(y)| = ... = |y-x|/(xy) = (d/2)/[x(x+d/2)] > d/(2x). ) 因為0<d<1，且0<y<1，當x趨近0+，則d/2xy(註：也就是| f (x)- f (y)|)會趨近無限大，無法小於某個數e。因此，f (x)=1/x在（0,1）並不會uniformly continuous█
( 對任意 d>0, 都可取 x 在 (0,1) 中, 使 d/(2x) 超過預定的 e. 也就是說,
不管 d 取得多小, 都無法保證當 |x-y|<d 時 |f(x)-f(y)|<e, 即使 e 放得很
寬. 故此例 f(x) 在 (0,1) 不是均勻連續. )

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關於「狂風」所說的反證法，恰好是我不解之處。我另開一題，請教各位專家。請指教了！

請教版主，區間 (0, 1) 題目寫的是開區間的小括號嗎？
1/x 只有在 x=0 才會無法定義，要是沒包含 0 應該仍可連續

這麼寫是可以且直觀，不過我認為直接證明它的否命題更為嚴謹與簡單，或是用反證法。

let e=1, for any d<1 we could choose x=1/d and y=1/(d+2) such that f(y)-f(x)>e.

Hence, the appropriate d for this e does not exist.

However, uniformly continuous requiers "for all e, appropriate d exists", hence it is not uniformly continuous.