高二數學求坐標問題

B在AC中垂線上

向量AC = (2-3, 3+4) = (-1, 7) 為中垂線法向量

可設中垂線為 x - 7y = k

AC中點M(5/2, -1/2)在中垂線上可代入

5/2 - 7(-1/2) = k

k = 6

中垂線為 x - 7y = 6

中垂線上任一點P的參數式為 P(7t+6, t)

向量AP(7t+6-3, t+4) = (7t+3, t+4)

向量CP(7t+6-2, t-3) = (7t+4, t-3)

向量AP和CP垂直故內積為0

(7t+3)(7t+4)+(t+4)(t-3) = 0
50t^2 +50t = 0
t^2 +t = 0
t(t+1) = 0
t = 0, -1

代入P(7t+6, t) = (6,0) (不合, 不在第三象限) 或 (-1, -1)

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正方形 ABCD：
四邊為AB、BC、CD 及 DA。
對角線為 AC 及 BD。

若把 AC 理解為其中一邊，只有逆時針方向 ACDB 為正方形頂點時才有解。
但題目既非如此，游於數何苦如此「捉蟲」去自找麻煩？

設B(m，n)
AC中點E(2.5，－0.5)
AC直線方程式:7x+y=17
BE直線方程式:x－7y=6
m－7n=6
m=7n+6
AC^2=1^2+7^2=50
BE^2=(m－2.5)^2+(n+0.5)^2=50/4
(7n+6－2.5)^2+(n+0.5)^2=50/4
(14n+7)^2+(2n+1)^2=50
(2n+1)^2=1
2n+1=1 or 2n+1=-1
n=0(不合) or n=－1
n=－1=>m=－1
B(－1，－1)

線段AC長=√50,可能為對角線長或邊長,

設B=(t,t),

A ( 3 , – 4 )，C ( 2 , 3 ),

假設AC為對角線長,
線段AB長=√[(t-3)^2+(t+4)^2]=√[2t^2+2t+25]
線段BC長=√[(t-2)^2+(t-3)^2]=√[(2t^2-10t+13],
2t^2+2t+25=2t^2-10t+13,12t=-12,t=1,B=(-1,-1).

2014-02-13 23:28:33 補充：
假設AC為邊長,

線段AB長=√[(t-3)^2+(t+4)^2]=√[2t^2+2t+25]
線段BC長=√[(t-2)^2+(t-3)^2]=√[2t^2-10t+13]
因t<0,則BC長>AB長,
則可得BC=√100,AB=AC=√50,

2(2t^2+2t+25)=2t^2-10t+13,

4t^2+4t+50=2t^2-10t+13,
2t^2+14t+37=0,2(t+7/2)^2+25/2=0,則t無解

2014-02-14 12:58:51 補充：
To冷眼旁觀:

我只是單純假設題目若不是按照ABCD的順序畫出正方形,

多考慮像是ACDB的形式來驗算,否則只需假設其為對角線即可算出答案

AC 的斜率 = (-4 - 3)/(3 - 2) = -7
AC 的長度 = √[(3 - 2)² + (-4 - 3)²] = √50

設 AC 中點為 M，則 M 亦為 BD 的中點。
M 的坐標 = ((3+2)/2, (-4+3)/2) = (5/2, -1/2)

設 B 的坐標為 (h, k)。

BM = (1/2)AC
√[(h - 5/2)² + (k + 1/2)²] = (1/2)√50
h² - 5h + k² + k - 6 = 0 ...... [1]

BM 垂直 AC，故此 BM 的斜率 = 1/7
(k + 1/2) / (h - 5/2) = 1/7

2014-02-13 22:54:34 補充：
(k + 1/2) / (h - 5/2) = 1/7
(2k + 1) / (2h - 5) = 1/7
2h - 5 = 14k + 7
2h = 14k + 12
h = 7k + 6 ...... [2]

將 [2] 代入 [1] 中：
(7k + 6)² - 5(7k + 6) + k² + k - 6 = 0
49k² + 84k + 36 - 35k - 30 + k² + k - 6 = 0
50k² + 50k = 0
50(k + 1)k = 0
k = -1 或 k = 0 (不合)

將 k = -1 代入 [2] 中：
h = 7(-1) + 6
h = -1

2014-02-13 22:54:48 補充：
B 的坐標 = (-1, -1)