證明a^3+b^3+c^3不等於2009

因為 0 < a,b,c < 13 (13^3 = 2197 > 2009)，且 2009 = 7 x 287，將這12個數的三次方分成三組：
A組 (等於 7p + 1)：(6 個)1^3 = 7 x 0 + 12^3 = 7 x 1 + 14^3 = 7 x 9 + 18^3 = 7 x 73 + 19^3 = 7 x 104 + 111^3 = 7 x 190 + 1
B組 (等於 7q - 1)：(5 個)3^3 = 7 x 4 - 15^3 = 7 x 18 - 16^3 = 7 x 31 - 110^3 = 7 x 143 - 112^3 = 7 x 247 - 1
C組 (等於 7r)：(1 個)7^3 = 7 x 49
明顯地，只能在 A, B, C 組內各選一個，即a^3 + b^3 + c^3 = 2009==> 7p + 1 + 7q - 1 + 7r = 7 x 287==> p + q + r = 287因 r 只得一個 49，所以 p + q = 238而 p = 0, 1, 9, 73, 104, 190；q = 4, 18, 31, 143, 247p + q 沒有等於 238 的結果，所以a^3 + b^3 + c^3 不等於 2009

2014-02-13 11:22:27 補充：
你說得對。但明顯地三個都是C組的話，那是
7^3 + 7^3 + 7^3 = 1029, 並不是 2009

若一個C組 + 兩個A組，那是
7r + 7p1 + 1 + 7p2 + 1
= 7(r + p1 + p2) + 2
此數並不是 7 的倍數 (除以 7 的餘數是 2)，不可能是 7 x 287

同理，也不可能是 一個C組+兩個B組。

2014-02-13 11:29:25 補充：
麻棘長的作法只是說他找不到 a^3 + b^3 + c^3 可以等於 2009，
而他找出可以等於 2008。

換句話說，這不證明甚麼。

至於 a^3 + b^3 + c^3 = d^3 + e^3 + f^3 + 1
這是另一命題，數字有那麼多正整數，直覺上應該存在的。

2014-02-13 16:53:14 補充：
多謝你的分享，怪不得有人說近期那麼多題目都提及2014。

到下面的網址看看吧

▶▶http://misshare168.pixnet.net/blog/post/86950298

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懇求大家幫忙,證明: a^3+b^3+c^3=\=2009恆成立,a,b,c=正整數Proof:2009=(1728+216+64)+1=(12^3+6^3+4^3)+1=\=a^3+b^3+c^3.....ans但是可以:2009=a^3+b^3+c^3+d^3a,b,c,d=某自然數

2009 = 7² × 41

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1205081816248

一併想想

2014-02-13 11:08:26 補充：
想問問麻辣長的做法是否需要先證明

a³ + b³ + c³ ≠ d³ + e³ + f³ + 1

2014-02-13 11:14:03 補充：
那些年 大大的
「明顯地，只能在 A, B, C 組內各選一個」
的確篩選了很大部份，且以致分析很方便。

但由於題目沒有指明三個立方需要不同，那應先撇除三個均為C組的情況。
此外，想請教一下，為何能輕易看出不能是
一個C組 + 兩個A組　或 一個C組 + 兩個B組

2014-02-13 15:54:55 補充：
對對對！　謝謝分享～

就是說 n³ for n ∈ {1, 2, ..., 12} 均能歸入以下三組
A 組 ≡ 1 (mod 7)
B 組 ≡ -1 (mod 7)
C 組 ≡ 0 (mod 7)

厲害。
與此題有少許少許異曲同工之妙。
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7014011000190