數學不懂做2

首先要講講當c>d>1;s>1;t=1/s即0<1;r>0及r不等於1時
log_(底s)_(c)>log_(底s)_(d)>0
log_(底s)_(1/c)=-log_(底s)_(c)
log_(底s)_(c)=log_(底r)_(c)/log_(底r)_(s)
s^c>s^d
c^r>d^r


1.若a>0,且a=/=1,討論log_(底a)_(a^2+1)及log_(底a)_(a^3+1)之大小關係.

log_(底a)_(a^2+1)-log_(底a)_(a^3+1)=log_(底a)_((a^2+1)/(a^3+1))
要比較它們大小,要分a<1及a>1的情況
當a<1,取b=1/a,則b>1
log_(底a)_((a^2+1)/(a^3+1))=log_((a^2+1)/(a^3+1))/log_(a)
=-log_(((1/b)^2+1)/((1/b)^3+1))/log_(b)
=-log_((b+b^3)/(1+b^3))/log_(b)
<-log_((b^0+b^3)/(1+b^3))/log_(b)
=-log_(1)/log_(b)=0
所以a當a<1時 log_(底a)_(a^2+1)<log_(底a)_(a^3+1)

當a>1
log_(底a)_((a^2+1)/(a^3+1))=log_((a^2+1)/(a^3+1))/log_(a)
<log_((a^3+1)/(a^3+1))/log_(a)
=log_(1)/log_(a)=0
所以a當a>1時 log_(底a)_(a^2+1)<log_(底a)_(a^3+1)

綜合,若a>0,且a=/=1,
log_(底a)_(a^2+1)<log_(底a)_(a^3+1)


2.設x>y>1 ,0<1,下列何者正確?
同樣取b=1/a,則b>1

A.x^-a/y^-a=(x/y)^-a
=(y/x)^a<1
所以x^-a<y^-a,即x^-a>y^-a是錯誤

B.a^-x/a^-y=(1/b)^-x/(1/b)^-y
=(1/b^-x)/(1/b^-y)
=b^-y/b^-x
=(1/b^y)/(1/b^x)
=b^x/b^y>1
所以a^-x>a^-y是正確

C.a^x/a^y=(1/b)^x/(1/b)^y
=(1/b^x)/(1/b^y)
=b^y/b^x<1
所以a^x<a^y,即a^x>a^y是錯誤

D.log_(底a)_x-log_(底a)_y
=log_(底a)_(x/y)
=log_(x/y)/log_(a)
=-log_(x/y)/log_(b)<0
所以log_(底a)_x<log_(底a)_y,即 log_(底a)_x>log_(底a)_y是錯誤

1.
當 0 < a < 1 時：
a < 1
a•a² < 1•a²
a³ < a²
(a³ + 1) < (a² + 1)
log10 (a³ + 1) < log10 (a² + 1)
由於 a < 1，故此 log10 a < 0。當兩邊同時除以 log10 a 時：
[log10 (a³ + 1) / log10 a] > [log10 (a² + 1) / log10 a]
loga (a³ + 1) > loga (a² + 1)

2014-02-05 23:37:37 補充：
當 a > 1 時：
a > 1
a•a² > 1•a²
a³ > a²
(a³ + 1) > (a² + 1)
log10 (a³ + 1) > log10 (a² + 1)
由於 a > 1，故此 log10 a > 0。當兩邊同時除以 log10 a 時：
[log10 (a³ + 1) / log10 a] > [log10 (a² + 1) / log10 a]
loga (a³ + 1) > loga (a² + 1)

結論：當 a > 0 且 a ≠ 1 時， loga (a³ + 1) > loga (a² + 1)

2014-02-05 23:38:41 補充：
2.
答案是 : B

A. 錯誤
x > y
x^a > y^a
(1/x^a) < (1/y^a)
x^(-a) < y^(-a)

B. 正確
x > y
-x < -y
由於 0 < a < 1，故此 log a < 0。兩邊同時乘以 log a 得：
(-x log a) > (-y log a)
log a^(-x) > log a^(-y)
a^(-x) > a^(-y)

2014-02-05 23:39:44 補充：
C. 錯誤
x > y
由於 0 < a < 1，故此 log a < 0。兩邊同時乘以 log a 得：
(x log a) < (y log a)
log a^x < log a^y
a^x < a^y

D. 錯誤
x > y
log x > log y
由於 0 < a < 1，故此 log a < 0。兩邊同時乘以 log a 得：
(log x / log a) < (log y / log a)
loga x < loga y