線性代數：使用row reduction會改變矩陣性質嗎

在前一題貓大師在意見欄已經問過，你說的"性質"是什麼?
你只問"是否改變性質"這個問法太籠統。應該說明你想知道的性質是什麼。

row reduction能夠成立，主要是應用在利用矩陣來解聯例方程式。

我現在反問你幾個問題：

聯立方程式(1)
x+y=3
x+2y=4
和聯立方程式(2)
x+y=3
y=1
和聯立方程式(3)
x=2
y=1

他們都代表同一點(2,1)，可是都由不同的直線相交而成
他們是不是"相同"的聯立方程式？或籠統一點，他們的"性質"相不相同?
你要如何回答?
我的回答是，因為結果都相同，當然是同樣的方程組
若硬要說由不同的線相交而成所以不同，那我也沒辦法。
例如，我認為自然數和正整數是相同的，但若有人說不相同，
因為中文字有兩個字不一樣，筆劃數也不一樣多，那我也沒辦法。
所以相不相同是要界定是指什麼東西相同。
相不相同已經要嚴謹定義了，若問你這些聯立方程式"性質"相不相同，如何回答?

寫成矩陣
[1,1,3]...[1,1,3]...[1,0,2]
[1,2,4]...[0,1,1]...[0,1,1]
他們是不同的矩陣，可是若應用到解聯立方程式，賦與他們解聯立方程式的身分與意義，這三個矩陣就完全對應到上面三個聯立方程式，你說三個聯立方程式相同的話，那這三個矩陣就相同，你說三個聯立方程式"性質"一樣或不一樣，這三個矩陣"性質"就跟著一樣或不一樣。

上面三個矩陣可以經由row reduction互化而得，用在解聯立方程式是"同義"的，就像上面三個聯立方程式是"同義"的，就像自然數和正整數是"同義"的，但若要說他們是不是相同或"性質"一不一樣，那就要界定我們要討論的是什麼才有意義。

至於純粹探討矩陣而不涉及其應用時，真正的相等，是要每個對應元都相等才叫相等，有些應用你稍微一改變它就不行，例如拿矩陣來做圖形的變換或database的儲存等等。

因此，我在上一題就說過，看你是做何種應用，還有探討的性質是什麼，才能問"性質"有沒有改變。

所以row reduction主要是用於解聯立方程式，就此應用而言，row reduction如何運算都不會改變其解，你說這樣"性質"有沒有改變?

但若拿來做其他應用，就不能隨便做row reduction了。

結論：
你問的： row reduction是否改變了矩陣性質，實在是籠統而不易回答，要看你問的"性質"是什麼。

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2014-02-09 15:51:23 補充：
謝謝老怪物大師的進一步解釋 !

其實應該說: 對一個矩陣做(基本)列運算是否改變了什麼? 是否有什麼維持不變?


解聯立方程式只是矩陣列運算的一個應用. 事實上, 做一個矩陣 A 做列運算, 相
當於矩陣左乘一個可逆矩陣: B = PA, 其中 P 可逆.


一個矩陣有列空間, 是矩陣各列視為向量所張開的空間. B=PA, 就是對 A 各列
做線性組合, 因此 RowSpace(B) 是 RowSpace(A) 的子空間. 但 P 可逆, 所以
後者也是前者的子空間. 也就是說, 對 A 做基本列運算不改變其列空間.

2014-02-09 15:01:18 補充：
但另一方面, A 的各行視為向量所 span 出的行空間則被改變了.

ColSpace(A) 可以表示為 {Ax: x 在 R^n} (假設 A 是 m times n 矩陣),
是 R^m 的子空間. 因此 B = PA 的行空間是上列 R^m 子空間經 P 變
換的結果. 令 W = ColSpace(A), 則 ColSpace(PA) 是 W 在 P 變換下
的 image: P: y in W --> Py, 仍是 R^m 的子空間, 只是不一定是原來
的 W. 不過, 因為 P 可逆, 所以其 dimension 不變.

2014-02-09 15:06:59 補充：
當然就矩陣本身而言, 每一個矩陣有其獨特的意義, 任何改變都變更了
其所代表的東西. 例如 A 可能代表某一地(列標)到另一地(行標)的運輸
量, 任何改變都使這些資訊發生變化.