中學數學~函數跟方程式要如何區分?

應該要用比較嚴謹的方式來解釋，但比較枯燥。

我打算用比較不嚴謹但比較容易懂的方式未你解說：

函數的自變數x值是隨便你代多少都可以，會得到不同的結果，方程式的結果是被限制住的，所以x值就不自由了，找出合適的x值就是解方程式

比如：
f(x) = x + 3是函數，x你想代多少都可以，若x代1，結果是4；x代2，結果是5，隨便你代。
但方程式 x + 3 = 0 就不同了，X由不得你隨便代，否則等號不會成立。你要把適當的x值找出來使等號成立，結果找出x = -3 是唯一適當的值，這樣就叫做解方程式。

另一個例子：
f(x) = x^2 + x - 6，也是函數，x你想代多少都可以，結果都不同， 隨便你代。
但方程式 x^2 + x - 6 = 0就不一樣，要解出x = -3 或2才能符合，若x隨便代，等號就不成立。

以上是最淺顯但不是那麼嚴謹的解釋，看看能不能懂，若不能懂，還有很多其他的方式可以說明，那就再說囉！

2014-01-25 15:19:31 補充：
讚 !!! 嚴謹的解釋 !!!

到下面的網址看看吧

▶▶http://misshare168.pixnet.net/blog/post/86950298

謝謝分享！

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函數是一種變數間對應方式的特殊型態.
以中學數學一般接觸到的函數而言, 是實變數函數,
可以表示成 y = f(x), 給定一個 x, 結果是 y, 而 f 就
是函數的本體, 指定了 x 如何對應到 y. 這其中, 細
說起來涉及到 x 的範圍(定義域) 和 y 的範圍 (值域,
或較資的, 對應域), 以及 f 的規則必須是明確的, 也
就是一個 x 只能對應出一個 y.

2014-01-25 12:37:07 補充：
方程式是由等號界定的, 含有 "未知數" 的一個式子.

一元方程式的範型是 f(x) = 0; 二元方程式的範型是
f(x,y) = 0, 以此類推.

函數 y=f(x) 也可以看成是一個二元方程式, 它可以
改寫成範型 y-f(x) = 0, 即 F(x,y) = 0 形式.

一元方程式 f(x) = 0 可能無解, 有唯一解, 或有不只
一解. 例如 x^2+1 = 0 無解, x^3-1=0 在實數只有一
解, x^2=1 則有 +1 及 -1 二解.

2014-01-25 12:43:26 補充：
二元方程式有些可以表示成一個函數, 如 y-x^2=0 相當於函數 y=x^2.
有些並不能用單一函數表示, 如 y^2-x^2 = 0. 有些二元甚至多元方程式
也可能是無解的, 如 x^2+y^2+1=0 在實數系無解. 有些特殊情況二元
方程式有唯一解或有限解, 如 x^2+y^2 = 0 有唯一解 (0,0). 但通常二元
方程式的解是無限多的, 其解集合在座標平面上成曲線圖形, 如橢圓
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, 其中 a, b 是常數.

多元方程式可以類推.

2014-01-25 12:49:14 補充：
二次函數 y = ax^2+bx+c 的圖形是一個開口向上或向下的拋物線.

二元二次方程式, 一般形式是 ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0, 顯然
包含前面的 ax^2+bx-y+c = 0 為特例. 只是, 寫成 y=f(x) 形式時我
們說 y 是 x 的函數, 而寫成 F(x,y)=0 形式時我們說它是一個方程
式.

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0 如果有解且非退化, 它的圖形可能是
拋物線 (開口可能向上, 向下, 向左, 向右, 或斜各的); 可能是雙曲線,
可能是橢圓 (圓為其特例).

2014-01-25 12:55:45 補充：
所以, 函數與方程式的差別, 一是形式上的, y=f(x) 與 F(x,y)=0.
當然(二元)方程式不一定要以 F(x,y)=0 表現, g(x,y)=h(x,y) 也是
二元方程式. 因此, y=f(x) 既是函數也是方程式.

但方程式的解, 如前面說過的, 不一定能用單一函數表現, 例如
y^2 = x^2 這個方程式的解集合不能用函數表示----它可以用兩
個函數 y = x 與 y = -x 來表現, 但還有其他無窮多的函數關係
y=f(x) 能滿足 y^2 = x^2 這個方程式.

2014-01-25 12:59:43 補充：
上列第二點就是函數與方程式在圖形上的不同 --- 函數受到
"一個 x 只能對應出一個 y" 的限制, 方程式則無此限制.


不過, 事實上函數也有比方程式 "自由" 的. 因為 "方程式"
一般限制在一個式子 (雖然定義上不一定要如此); 而函數
則只要指明如何把 x 變成 y, 這個指定方式可以用好幾個
式子來表示, 甚至不是用式子來表示.

函數經過整理之後會得到方程式

函數主要是y=f(x)的形式，多用在座標上

方程式主要是如ax+by=c的樣子，用來解未知數，配合聯立

此外，函數相對於方程式還多了一個限制

函數任一個x值代入時必恰存在1個y值

ex:x^2+y^2=9是方程式，但y^2=9-x^2不是函數

xy=1是方程式，但y=x^(-1)不是函數(x=0時y值不存在)

2014-01-24 18:36:27 補充：
補充：
函數無論如何都可以代許多種x值
方程式則有固定的解(尤其是一元)