數學:恆等式

註：這類題有兩個做法。

一、比較係數。

二、代數作比較。
〔由於是恆等式，代什麼也可以，代一些特別的數令你容易比較。〕


題一
3(2x - 9) + x ≡ A(x - 1) + B(x - 5)
求 A 和 B 的值。

答一
代 x = 5：
3(10 - 9) + 5 = A(5 - 1) + B(5 - 5)
3 + 5 = 4A + 0
4A = 8
A = 2

代 x = 1：
3(2 - 9) + 1 = A(1 - 1) + B(1 - 5)
-21 + 1 = 0 - 4B
-20 = -4B
B = 5

因此， A = 2，B = 5


題二
9x² - 15x - 5 ≡ (Ax - B)(3x - 1) + C
求 A、B 和 C 的值。

答二
代 x = 1/3：
9/9 - 15/3 - 5 ≡ (A/3 - B)(0) + C
1 - 5 - 5 = C
C = -9

代 x = 0：
0 - 0 - 5 = (- B)(- 1) + C
-5 = B - 9
B = 4

9x² - 15x - 5 ≡ (Ax - B)(3x - 1) + C
比較 x² 的係數：
9 = 3A
A = 3

因此， A = 3，B = 4，C = -9


題三
x² + Ax + B ≡ (x - 2)(x - B) + 2A
求 A 和 B 的值。

答三
x² + Ax + B ≡ (x - 2)(x - B) + 2A
x² + Ax + B ≡ x² - Bx - 2x + 2B + 2A
x² + Ax + B ≡ x² - (B + 2)x + 2(A + B)
比較係數：
{ A = -(B + 2) = -B - 2
{ B = 2(A + B)

{ A + B = - 2
{ B = 2(A + B)

B = 2(-2) = -4
A = -B - 2 = 4 - 2 = 2

因此， A = 2，B = -4

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