x+2y=12 求最小值x²+2y²

題目說x+2y=12，所以x=12-2y
帶到x²+2y²裡面，可以得到(12-2y)²+2y²=144-48y+4y²+2y²=6y²-48y+144
因為二次函數，而且領導係數為正(6)，所以其有一個最小值存在
經過配方法可得，6y²-48y+144 = 6(y²-8y+16)+144-96 = 6(y-4)+48
所以可以知道，當y=4時，x²+2y²有最小值48

2014-01-19 14:32:34 補充：
抱歉上面應該是6(y-4)²+48

另外，如果你會微分也可以用微分做
f(y) = 6y²-48y+144
兩邊對y微分可得
f ' = 12y-48

當 f ' = 0 時有最小值 ，此時 y = 4
所以x = 4

螞蟻大就是用柯西不等式啊.

科西不等式分量型
((a1)^2+(a2)^2)((b1)^2+(b2)^2)>=(a1b1+a2b2)^2
(x^2+2y^2)(1^2+1^2)>=(x+2y)^2
x^2+2y^2>=144/2=72，x^2+2y^2最小值為72

x,y皆為實數 x+2y=12 求最小值x^2+2y^2
Sol
[x^2+(√2y)^2]*[1^2+(√2)^2]>=(x+2y)^2
(x^2+2y^2)*(1+2)>=12^2
x^2+2y^2>=48