國二一些數學問題

1.
Tn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2

Tn/(Tn-1)=[n(n+1)/2]/{[n(n+1)/2]-1}

右式分子分母各項都乘以2得

Tn/(Tn-1)=[n(n+1)]/[n(n+1)-2]

Tn/(Tn-1)=[n(n+1)]/[n^2+n-2]

Tn/(Tn-1)=[n(n+1)]/[(n-1)(n+2)]

代入[T2/(T2-1)]*[T3/(T3-1)]*...[T100(T100-1)]

=[(2*3)/(1*4)]*[(3*4)/(2*5)]*[(4*5)/(3*6)]*...*[(99*100)/(98*101)]*=[(100*99)/(101*102)]

=(3/1)*(100/102)

=50/17

2.
x^2 - kx +5k = 0 二根為有理數
表示判別中為完全平方數

√(k^2-20k)

=√k(k-20)

=√k*√(k-20) (根號中皆為完全平方數)

得 k = 36

2014-01-14 12:00:14 補充：
因為"√ " 裡面是k-20

所以k > 0 (不能等於0，因為有兩相異有裡根)

k = 24，29都能使√(k-20) 開得出來，但代入√k 開不出來，所以不合

當 k = 36，能使√(k-20) 開得出來，代入√k 也開得出來

所以 k = 36

2014-01-14 12:01:20 補充：
更正

k > 20

即 √(k-20) > 0

1.若Tn=1+2+3+.....+n(n為任意正整數)，則【T2/(T2－1)】*【T3/(T3－1)】
*...*【T100/(T 100－1)】=________
Sol
T(n)=1+2=3+…+n=n(n+1)/2
T(n)/[T(n)－1]
=n(n+1)/2/[n(n+1)/2－1]
=n(n+1)/[n^2+n－2]
=n(n+1)/[(n－1)(n+2)]
So
【T2/(T2－1)】*【T3/(T3－1)】*...*【T100/(T 100－1)
=[2*3/(1*4)]*[3*4/(2*5)]*[4*5/(3*6)]*[5*6/(4*7)]*…
*[98*99/(97*100)]*[99*100/(98*101)]*[100*101/(99*102)]
=[1*1/(1*1)]*[3*1/(1*1)]*[1*1/(1*1)]*[5*1/(1*7)]*…
*[98*1/(1*1)]*[1*1/(1*1)]*[100*1/(1*102)] 紅色部分會跟沒顯示消掉
=[3*1/(1*1)]*[100*1/(1*102)]
=3*100/102
=50/17

2.設k為正整數，若x之二次方程式x^2－kx+5k=0的二根為相異有理數，
則k=______
Sol
x^2－kx+5k=0
D=k^2－20k
二根為相異有理數
存在正整數p使得
D=p^2
k^2－20k=p^2
k^2－20k+100－p^2=100
(k－10)^2－p^2=100
(k－10－p)(k－10+p)=100
100=2^2*5^2有(2+1)*(2+1)=9個正因數
100=1*100=2*50=4*25=5*20=10*10
(1) k－10－p=1，k－10+p=100
2k－20=101(不合)
(2) k－10－p=2，k－10+p=50
2k－20=52
k=36
(3) k－10－p=4，k－10+p=25
2k－20=29(不合)
(4) k－10－p=5，k－10+p=20
2k－20=25(不合)
(5) k－10－p=10，k－10+p=10
2k－20=20
k=20
x^2－20x+100=0
x=10(重根不合)
綜合(1)，(2)，(3)，(4)，(5)
k=36

2.相異有理數，判別式為平方數
K^2-20k=a^2
(K-10)^2=a^2+100
(k-10)^2-a^2=100
(k-10+a)(k-10-a)=100
列表
K-10+a=100，50，25，20，10
k-10-a=1 ，2 ，4 ，5，10
得
K=分數，36，分數，分數，20
a=　 ，24， ， ， 0
又k=20，原式為等根，不合
故k=36

可代入驗算，得x的兩根為30，6