數學配方法與公式解

1.
[(5/3)x - 2]² = 35
[(5/3)x - 2]² * 3² = 35 * 3²
(5x - 6)² = 315
25x² - 60x + 36 = 315
25x² - 60x + 36 = 315
25x² - 60x - 279 = 0

a、b 為方程式 25x² - 60x - 279 = 0 的兩根。
兩根之和： a + b = 60/25 = 12/5
兩根之積： ab = -279/25

(a - b)²
= (a + b)² - 4ab
= (12/5)² - 4(-279/25)
= 1260/25

由於 a > b，所以 a - b = 6(√35)/5

(5/3)a - (5/3)b
= (5/3)(a - b)
= (5/3) * 6(√35)/5
= 2√35


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2.
把 x = (a/2)+ 1 代入 x² - ax + 6 = 0 中：
[(a/2) + 1]² - a[(a/2) + 1] + 6 = 0
(a²/4) + a + 1 - (a²/2) - a + 6 = 0
a²/4 = 7
a² = 28
a = 2√7

方程式：x² - 2(√7)x + 6 = 0
x = {2(√7) ± √[(2√7)² - 4(1)(6)] / 2(1)
x = [2(√7) ± 2] /2
x = 1 + √7 或 x = -1 + √7


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3.
ax² = 2bx + c
ax² - 2bx = c
a[x² - (2b/a)x] = c
a[x² - (2b/a)x + (b/a)²] = c + a(b/a)²
a[x - (b/a)]² = c + (b²/a)
a[x - (b/a)]² = (b² + ac)/a
[x - (b/a)]² = (b² + ac)/a²
x - (b/a) = ± √[(b² + ac)/a]
x = (b/a) ± √[(b² + ac)/a]
x = [b + √(b² + ac)]/a 或 x = [b - √(b² + ac)]/a


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4.
答案是：(C) 方程式有相異兩根

(A) 錯誤
除了 a 為整數外，沒有其他任何資料去判斷 a 的數值。

(B) 錯誤
方程式： x² + 2ax + (a - 1) = 0
判別式 Δ = (2a)² - 4(a - 1) = 4a² - 4a + 1 ≠ a² + 4a

(C) 正確
承上，當 a 為整數時：
判別式 Δ = 4a² - 4a + 1 = (2a - 1)² > 0
因此方程式有相異兩根。

(D) 錯誤
承上，方程式有相異兩根。