國二一些數學問題

1.以知對任何正整數n，√[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1]恆為一正整數，則此
正整數為______以n表示
Sol
P=√[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1]
P^2=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
=(n^2+5n+4)(n^2+5n+6)+1
=(n^2+5n)^2+10(n^2+5n)+24+1
=(n^2+5n)^2+10(n^2+5n)+25
=(n^2+5n+5)^2
P=｜n^2+5n+5｜=n^2+5n+5

2.若m、n為正整數，且滿足mn^2+m=11n+1，則n的最大值為_______
Sol
mn^2+m=11n+1
mn^2－11n+m－1=0
D=11^2－4*m*(m－1)>=0
121－4m^2+4m>=0
4m^2－4m－121<=0
(4m^2－4m+1)－122<=0
(2m－1)^2<=122
－√122<=2m－1<=√122
－11.04<=2m－1<=11.04
－10.04<=2m<=12.04
－5.02<=m<=6.02
1<=m<=6
(1) m=1
n^2+1=11n+1
n=11 or n=0(不合)
(2) m=2
2n^2+2=11n+1
2n^2－11n+1=0(無整數解)
(3) m=3
3n^2+3=11n+1
3n^2－11n+2=0(無整數解)
(4) m=4
4n^2+4=11n+14n^2－11n+3=0(無整數解)
(5) m=5
5n^2+5=11n+1
5n^2－11n+4=0(無整數解)
(6) m=6
6n^2+6=11n+1
6n^2－11n+5=0(無整數解)
綜合(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)
n=11




2014-01-09 08:57:43 補充：
3.若正整數n等於他各位數字之和的3倍，則n=___
Sol
n一定是2位數
設 n=ab=10a+b
10a+b=3(a+b)=3a+3b
7a=2b
a=2，b=7
n=27

2.
m=(11n+1)/(n^2+1)
m為整數，故分子>=分母
n^2+1<=11n+1，n(n-11)<=0，0<=n<=11
驗算，當n=11時，m=1，均為正整數，符合題意

2014-01-09 09:03:38 補充：
3.若正整數n等於他各位數字之和的3倍，則n=_______。
考慮個位數a，a≠3a，不可能
考慮二位數ab，即10a+b=3(a+b)，7a=2b，因a、b皆為0~9數字，且a不為0，可知只有27符合，其他因倍數問題不合
考慮三位數abc，即100a+10b+c=3(a+b+c)，97a+9b=2c，因a、b、c皆為0~9的數字，且a不為0，而前式中97a遠大於2c，不可能符合
考慮四位數以上，比照三位數過程，整理後，左式會遠大於右式，不可能符合
所以，答案只有一個27。

1.
√【(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1】

=√【(n^2+5n+4)(n^2+5n+6)+1】

=√(n^2+5n+5)^2

= l n^2+5n+5 l

=n^2+5n+5

2014-01-06 23:23:28 補充：
2.參考
mn^2+m=11n+1
==>mn^2+m-1=11n

n最大值是完全平方數

所以n最大值是11