國二一些數學問題

2014-01-07 6:37 am
1.以知對任何正整數N,√【(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1】恆為一正整數,則此正整數為______以n表示
22.若m、n為正整數,且滿足mn^2+m=11n+1,則n的最大值為_______
更新1:

補充一下第三題, 3.若正整數n等於他各位數字之和的3倍,則n=_______。

回答 (3)

2014-01-07 5:24 pm
✔ 最佳答案
1.以知對任何正整數n,√[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1]恆為一正整數,則此
正整數為______以n表示
Sol
P=√[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1]
P^2=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
=(n^2+5n+4)(n^2+5n+6)+1
=(n^2+5n)^2+10(n^2+5n)+24+1
=(n^2+5n)^2+10(n^2+5n)+25
=(n^2+5n+5)^2
P=|n^2+5n+5|=n^2+5n+5

2.若m、n為正整數,且滿足mn^2+m=11n+1,則n的最大值為_______
Sol
mn^2+m=11n+1
mn^2-11n+m-1=0
D=11^2-4*m*(m-1)>=0
121-4m^2+4m>=0
4m^2-4m-121<=0
(4m^2-4m+1)-122<=0
(2m-1)^2<=122
-√122<=2m-1<=√122
-11.04<=2m-1<=11.04
-10.04<=2m<=12.04
-5.02<=m<=6.02
1<=m<=6
(1) m=1
n^2+1=11n+1
n=11 or n=0(不合)
(2) m=2
2n^2+2=11n+1
2n^2-11n+1=0(無整數解)
(3) m=3
3n^2+3=11n+1
3n^2-11n+2=0(無整數解)
(4) m=4
4n^2+4=11n+14n^2-11n+3=0(無整數解)
(5) m=5
5n^2+5=11n+1
5n^2-11n+4=0(無整數解)
(6) m=6
6n^2+6=11n+1
6n^2-11n+5=0(無整數解)
綜合(1),(2),(3),(4),(5),(6)
n=11




2014-01-09 08:57:43 補充:
3.若正整數n等於他各位數字之和的3倍,則n=___
Sol
n一定是2位數
設 n=ab=10a+b
10a+b=3(a+b)=3a+3b
7a=2b
a=2,b=7
n=27
2014-01-07 3:33 pm
2.
m=(11n+1)/(n^2+1)
m為整數,故分子>=分母
n^2+1<=11n+1,n(n-11)<=0,0<=n<=11
驗算,當n=11時,m=1,均為正整數,符合題意

2014-01-09 09:03:38 補充:
3.若正整數n等於他各位數字之和的3倍,則n=_______。
考慮個位數a,a≠3a,不可能
考慮二位數ab,即10a+b=3(a+b),7a=2b,因a、b皆為0~9數字,且a不為0,可知只有27符合,其他因倍數問題不合
考慮三位數abc,即100a+10b+c=3(a+b+c),97a+9b=2c,因a、b、c皆為0~9的數字,且a不為0,而前式中97a遠大於2c,不可能符合
考慮四位數以上,比照三位數過程,整理後,左式會遠大於右式,不可能符合
所以,答案只有一個27。
2014-01-07 7:02 am
1.
√【(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1】

=√【(n^2+5n+4)(n^2+5n+6)+1】

=√(n^2+5n+5)^2

= l n^2+5n+5 l

=n^2+5n+5

2014-01-06 23:23:28 補充:
2.參考
mn^2+m=11n+1
==>mn^2+m-1=11n

n最大值是完全平方數

所以n最大值是11


收錄日期: 2021-04-30 18:22:02
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140106000010KK06057

檢視 Wayback Machine 備份