20點~~高中4題數學問題

1.
y = x(x - 2)
y = x² - 2x
y = (x² - 2x + 1) - 1
y = (x - 1)² - 1

-1 ≤ y ≤ 3
-1 ≤ [(x - 1)² - 1] ≤ 3
0 ≤ (x - 1)² ≤ 4
0 ≤ |x - 1| ≤ 2
所以0 ≤ (x - 1) ≤ 2 或 -2 ≤ (x - 1) ≤ 0
1 ≤ x ≤ 3 或 -1 ≤ x ≤ 1

故 x 的範圍是： -1 ≤ x ≤ 3

（版主是考慮少了當 (x - 1 < 0) 時，(x - 1) 的負值愈大，(x - 1)² 的正值愈大。因此，版主考慮少了-1 ≤ x ≤ 1 的情況。）


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2.
所組成三位數的數目
= 6 * 6 * 6 個
= 216 個

（若百位和十位可被7整除（例如 14x），）
（則無論個位配上 1 - 6 中任何數字，都不可被 7 整除。）
（這類數字有：）
（14x, 21x, 35x, 42x, 56x, 63x (共 6 種)）

（若百位和十位數不可被 7 整數，十位的餘數可由 1 - 6，）
（配上 1 - 6 其中一個數字，必定可被 7 整除。）

可被 7 整除的三位數的數目
= (6 * 6 - 6) 個
= 30 個

所求的或然率
= 30/216
= 5/36


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3.
複數 a + bi 的絕對值 |a + bi|= √(a² + b²)

|1 + 2i| = √(1² + 2²) = √5
|1 - 2i| = |1 + (-2)i| = √[1² + (-2)²] = √5

所以 |1 + 2i| = |1 - 2i|


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4.
（情況一：）
（首先排列戊己庚三人成 _X_X_X_ (3P3)。）
（然後把甲乙插入其中兩個 "_" 中成 _X_X_X_X_X_ (4P2)。）
（最後把丙丁插入其中兩個 "_" 中 (6P2)。）

（情況二：）
（甲乙成一組，與戊己庚三人排列。例如：_X_乙_甲_X_X_ (4P4* 2P2)。）
（把丙/丁放在甲乙之間，另一人在餘下其中一個 "_" 上 (2P1 * 5P1)。）

所求的排列方法數目
= [3P3 * 4P2 * 6P2+ 4P4 * 2P2 * 2P1* 5P1] 種
= [3! * (4!/2!) * (6!/4!) + 4! * 2! * (2!/1!) * (5!/4!)] 種
= [6 * 12 * 30 + 24 * 2 * 2 * 5] 種
= [2160 + 480] 種
= 2640 種

（版主的解法是沒有考慮情況二，即沒有考慮甲丙乙、甲丁乙、乙丙甲、乙丁甲四種情況。）

2014-01-09 00:29:28 補充：
第一題的敍述中，開始時 a 和 b 是沒有固定值的。
要符合 -1 ≤ y ≤ 3 的條件，a 和 b 才有固定值。

第四題中，先排戊己庚，再把甲乙插入同一空隙的方法，其實就是情況二。

第一題題目這樣敍述有問題,
這樣問的話,a,b 不會是固定值,

第四題如果先排戊己庚,再排甲乙時,除了插空隙之外,
甲乙也可以先排在同一個空隙,之後再把丙丁排入甲乙之間.