求解91海洋商船，線性代數相依或獨立

There are linearly dependent?v1 = (2,-1,0)v2 = (-1,1,1)v3 = (1,-2,-3)v4 = (4,1,6)Ans:線性相依的定義是:0=a*V1+b*V2+c*V3+d*V4.....a.b.c.d=實數=a(2 -1 0)+b(-1 1 1)+c(1 -2 -3)+d(4 1 6)可以獲得3ㄍ方程式:2a-b+c+4d=0-a+b-2c+d=0b-3c+6d=0此系統擁有異於零的解之條件為:|.2 -1 .1 4|
|-1 .1 -2 1|
|.0 .1 -3 6|=0.....Note
|.1 .1 .1 1|上式成立.所以為線性相依
Note:|.2 -1 .1 4|
|-1 .1 -2 1|.....x
|.0 .1 -3 6|
|.1 .1 .1 1|.....y
----------------------------.|2 -1 .1 4|.....w
.|0 .2 -1 2|.....x+y
=|0 .1 -3 6|
.|1 .1 .1 1|.....z
------------------------.|0 -3 -1 2|.....w-2z
.|0 .2 -1 2|.....x+y
=|0 .1 -3 6|
.|1 .1 .1 1|
--------------------------..|-3 -1 2|.....w-2z
=-|.2 -1 2|.....x+y
..|.1 -3 6|
------------------------.|-3 1 2|
=|.2 1 2|
.|.1 3 6|=-18+2+12-2+18-12=0


2014-01-06 20:18:58 補充：
檢驗v1.v2 & v3.v4是否線性相依

線性相依的定義是:

0=a*V1+b*V2

=a(2,-1,0)+b(-1,1,1)

=(2a-b; -a+b; b)

可以獲得3ㄍ方程式:

2a-b=0

a-b=0

0+b=0

=> a=b=0

此系統沒有異於零的解.所以v1.v2為線形獨立.

2014-01-06 20:19:36 補充：
v3=c*V1+d*V2

=c(2 -1 0)+d(-1 1 1)

=(2c-d; -c+d; d)

=(1 -2 -3)

2c-d=1

-c+d=-2

d=-3

=> c=-1, d=-3; v3=-v1-3*v2


v4=e*V1+f*V2

=e(2 -1 0)+f(-1 1 1)

=(2e-f; -e+f; f)

=(4 1 6)

2c-d=4

-c+d=1

d=6

=> e=5, f=6; v4=5*v1+6*v2

V3.V4可以使用v1.v2表示.所以為線形相依

排成一個矩陣，然後用高斯消去法解
| 2 -1 1 4 : 0 |
| -1 1 -2 1 : 0 | =
| 0 1 -3 6 : 0 |

| 2 -1 1 4 : 0 |
| 0 1 -3 6 : 0 | =
| 0 0 0 0 : 0 |

| 1 0 -1 5 : 0 |
| 0 1 -3 6 : 0 |
| 0 0 0 0 : 0 |
所以可以清楚知道v1,v2可線性組成 v3, v4。
v1,v2組裝v3再減v3=0向量
-1v1 -3v2 -v3 +0v4 = (0,0,0) <=純量非全零，所以是LD。

兩個V3?.......
如果是四個向量,那一定不會獨立.