數學歸納法

(a)

設 P(n) 為命題 1^2 + 2^2 +3^2 +...+ n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6
當 n = 1 時，左方 = 1^2 = 1，右方 = 1(1 + 1)(2 + 1) / 6 = 1，P(1) 成立
假設存在一些正整數 k 使 P(k) 成立，即
1^2 + 2^2 +3^2 +...+ k^2 = k(k + 1)(2k + 1) / 6
當 n = k + 1 時，左方 = 1^2 + 2^2 +3^2 +...+ k^2 + (k + 1)^2
= k(k + 1)(2k + 1) / 6 + (k + 1)^2
= (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)] / 6
= (k + 1)(2k^2 + 7k + 6) / 6
= (k + 1)(k + 2)(2k + 3) / 6
= (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1] / 6 = 右方，P(k + 1) 成立
根據數學歸納法，對於所有正整數 n，
1^2 + 2^2 +3^2 +...+ n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6

(b)

11^2 + 12^2 + 13^2 +...+ 30^2
= (1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ 30^2) - (1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ 10^2)
= 30(30 + 1)(2(30) + 1) / 6 - 10(10 + 1)(2(10) + 1) / 6
= 9070

2^2 + 4^2 + 6^2 +...+ 20^2
= (2^2)(1^2) + (2^2)(2^2) + (2^2)(3^2) +...+ (2^2)(10^2)
= 4(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ 10^2)
= 4[10(10 + 1)(2(10) + 1) / 6]
= 1540

A
當N=1时,
左方=1²=1
右方=(1/6)(1)(1+1)(2(1)+1)=(1/6)(2)(3)=1=左方
∴當N=1时,命題成立。

假设當N=k时,命題成立,
即1²+2²+3²+...+k²=(1/6)(k)(k+1)(2k+1)
則1²+2²+3²+...+k²+(k+1)²
=(1/6)(k)(k+1)(2k+1)+(k+1)² [根據假设]
=(1/6)(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]
=(1/6)(k+1)[2k²+k+6k+6]
=(1/6)(k+1)[2k²+7k+6]
=(1/6)(k+1)(2k+3)(k+2)
=(1/6)(k+1)[[(k+1)+1][(2k+1)+1]
=右方
∴當N=k+1时,命題也成立。
∴根據數學歸納法,對於所有正整數N,命題都成立。

2014-01-03 14:20:43 補充：
B.

(1)
11²+12²+13²+...+30²
=1²+2²+3²+...+11²+12²+13²+...+30²-(1²+2²+3²+...+10²)
=(1/6)(30)(30+1)(2(30)+1)-(1/6)(10)(10+1)(2(10)+1) [由a]
=(1/6)[30x31x61-10x11x21]
=(1/6)[56730-2310]
=9070

(2)
2²+4²+6²+...+20²
=2²[1²+2²+3²+10²]
=2²[(1/6)(10)(10+1)(2(10)+1)] [由a]
=2²[2310]
=9240

2014-01-03 14:25:48 補充：
更正
(2)
2²+4²+6²+...+20²
=2²[1²+2²+3²+10²]
=2²[(1/6)(10)(10+1)(2(10)+1)] [由a]
=2²[2310/6]
=1540


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