正六邊形ABCDEF，其內部有一點P，
試證：
三角形PAB面積+三角形PCD面積+三角形PEF面積=正六邊形ABCDEF之二分之一
數學：關於正六邊形的問題
2014-01-03 7:54 am
回答 (5)
2014-01-04 7:56 pm
2014-01-05 6:38 am
2014-01-05 5:26 am
把bdf的邊補成正3角形
並以此證明出bdf的高相加(利用正3角型三邊到內部任意點的距離總合為定值(藉面積算))恆等於任兩條平行線的1.5倍
再算出b+d+f面積等於正六邊形一半
因此可以推得b+d+f面積=a+c+e面積
並以此證明出bdf的高相加(利用正3角型三邊到內部任意點的距離總合為定值(藉面積算))恆等於任兩條平行線的1.5倍
再算出b+d+f面積等於正六邊形一半
因此可以推得b+d+f面積=a+c+e面積
2014-01-04 4:05 am
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侔利咽倴勉乀僔
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2014-01-03 4:53 pm
證明：
Ａ Ｂ
Ｆ Ｃ
Ｅ Ｄ
1.若P在對角線交點，顯然成立。(三角形PAB全等於三角形PDE，三個三角形恰好填滿六邊形的一半，即填滿梯形CDEF)
2.若P位在任一條對角線上，對角線交點為O，不失一般性，假設P在對角線BE上，因為AF//BE//CD，故三角形PCD=三角形PAF(因為等底等高)，即三個三角形恰好填滿六邊形的一半，即填滿梯形BAFE。
2014-01-03 08:54:15 補充：
3.若P不位在任一條對角線上，不失一般性，假設P位在三角形ODE之內部，過P作平行於DE的平行線，交BE於Q點，因PQ//AB//DE//CF，故三角形PAB=三角形QAB(同底等高)，且三角形PDE=三角形QDE(同底等高)，三角形QCF=三角形PCF(同底等高)，
考慮梯形CDEF中，因為三角形PCF+三角形PDE=三角形QCF+三角形QDE，故三角形PEF+三角形PCD=三角形QEF+三角形QCD
承上述，即得三角形PAB+三角形PCD+三角形PEF=三角形QAB+三角形QCD+三角形QEF
4.而因Q在對角線上，根據2.，可推得，三角形PAB+三角形PCD+三角形PEF=六邊形ABCD
Ａ Ｂ
Ｆ Ｃ
Ｅ Ｄ
1.若P在對角線交點，顯然成立。(三角形PAB全等於三角形PDE，三個三角形恰好填滿六邊形的一半，即填滿梯形CDEF)
2.若P位在任一條對角線上，對角線交點為O，不失一般性，假設P在對角線BE上，因為AF//BE//CD，故三角形PCD=三角形PAF(因為等底等高)，即三個三角形恰好填滿六邊形的一半，即填滿梯形BAFE。
2014-01-03 08:54:15 補充：
3.若P不位在任一條對角線上，不失一般性，假設P位在三角形ODE之內部，過P作平行於DE的平行線，交BE於Q點，因PQ//AB//DE//CF，故三角形PAB=三角形QAB(同底等高)，且三角形PDE=三角形QDE(同底等高)，三角形QCF=三角形PCF(同底等高)，
考慮梯形CDEF中，因為三角形PCF+三角形PDE=三角形QCF+三角形QDE，故三角形PEF+三角形PCD=三角形QEF+三角形QCD
承上述，即得三角形PAB+三角形PCD+三角形PEF=三角形QAB+三角形QCD+三角形QEF
4.而因Q在對角線上，根據2.，可推得，三角形PAB+三角形PCD+三角形PEF=六邊形ABCD
收錄日期: 2021-04-11 20:25:39
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