國二一些數學問題

1.
甲、乙、丙三人約定到學校在同一時間出發點各自以固定的速率繞操場跑步，甲依順時針前進，乙和丙則依逆時針方向前進。甲發現每隔4分鐘會遇見乙一次，每隔6分鐘會遇見丙一次。請問，乙每隔 12 分鐘會追過丙一次。

設甲、乙、丙每分鐘分別跑 (1/a) 圈、(1/b) 圈、(1/c) 圈。

甲與乙每 4 分鐘遇見一次，即甲與乙每 4 分鐘共跑了一個圈。
(1/a) x 4 + (1/b) x 4 = 1
6 x [(1/a) x 4 + (1/b) x 4] = 6
(1/a) x 24 + (1/b) x 24 = 6 ...... [1]

甲與丙每 6 分鐘遇見一次，即甲與丙每 6 分鐘共跑了一個圈。
(1/a) x 6 + (1/c) x 6 = 1
4 x [(1/a) x 6 + (1/c) x 6] = 4
(1/a) x 24 + (1/c) x 24 = 4 ...... [2]

[1] - [2] :
(1/b) x 24 - (1/c) x 24 = 2
[(1/b) - (1/c)] x 24 = 2
1/b - 1/c = 1/12

上式顯示，每分鐘乙比丙多跑 1/12 圈。
乙追過丙一次，乙要比丙多跑 1 圈。
乙追過丙一次所需時間 = 1 ÷ (1/2) 分鐘 = 12 分鐘


2.
從 1 到 1000 的正整數中，不含數字 5 的數有 729 個。

首先考慮 1 - 999，即三位數 001 - 999。以 XYZ 表示這三位數：
百位數X : 可以填入 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 共 9 個數字。
十位數Y : 可以填入 0, 1, 2,3, 4, 6, 7, 8, 9 共 9 個數字。
個位數Z : 可以填入 0, 1, 2,3, 4, 6, 7, 8, 9 共 9 個數字。
最後減去「000」這個數，並加上「1000」這個數。

從 1 到 1000 的正整數中，不含數字 5 的數的個數
= (9 x 9 x 9 - 1 + 1) 個
= 729 個

1.由題目條件，我們可以列出以下關係式
x=4a+4c
x=6a+6b
(令一圈長度為X公尺，甲的速度為a，乙的速度為b，丙的速度為c，
速度單位為公尺/分鐘)

經移項後可得
c=(x-6a)/6---A
b=(x-4a)/4---B

從出發點開始，乙每追過丙一次，表示乙要比丙多走一圈
利用相對速度的概念，我們可以知道每分鐘乙會比丙多走b-c的距離
也就是說乙比丙多走一圈的時間為x/(b-c)
(和乙走一圈時間為x/b，丙走一圈時間為x/c的意思一樣)
最後把上述移項完的結果(A、B)代入x/(b-c)就可以得到答案了
算出來的結果應該是12

2.我們先考慮三位數
百位數、十位數、個位數皆有除了5以外的九種可能
(0、1、2、3、4、6、7、8、9)
因此沒有5的三位數總共有9*9*9=729個
但是小心!! 0也被含括於上述的算式中(000)，因此要扣掉一項
最後不要忘記加當初沒有算進來的唯一四位數1000(亦不含數字5)
總和以上結果可知從1到1000的正整數中，不含數字5的數有729-1+1=729個

希望你看得懂囉，我的表達能力有點差QQ