國三數學~內心的應用題目 1

1.
直角三角形較短一股 a = y 公分
較長一股 b = (y + 7) 公分
斜邊為 c

根據勾股定理：
c² = a² + b²
c² = y² + (y + 7)²
c = √(2y² + 14y + 49)

三角形周長：
a + b + c = 30 公分
y + (y + 7) + √(2y² + 14y + 49) = 30
√(2y² + 14y + 49) = 23 - 2y
[√(2y² + 14y + 49)]² = (23 - 2y)²
2y² + 14y + 49 = 4y² - 92y + 529
2y² - 106y + 480 = 0
y² - 53y + 240 = 0
(y - 48)(y - 5) = 0
y = 48 (不合) 或 y = 5

a = 5 公分,
b = (5 + 7) 公分 = 12 公分
c = [30 - (5 + 12)] 公分 = 13 公分

內切圓半徑
= (5 + 12 - 13)/2 公分
= 2 公分

內切圓面積
= π x 2² 平方公分
= 4π 平方公分
= 12.56 平方公分


2.
三角形兩股為 a 及 b，其斜邊為 c。
a = n, b = n + 1 及 c = n + 2

根據勾股定律：
a² + b² = c²
n² + (n + 1)² = (n + 2)²
n² + n² + 2n + 1 = n² + 4n + 4
n² - 2n - 3 = 0
(n + 1)(n - 3) = 0
n = -1 (不合) 或 n = 3

a = 3, b = 4 及 c = 5

內切圓半徑
= (3 + 4 - 5)/2
= 1


3.
∠C = 180° - (30° + 60°) = 90°

兩股： a = BC 及 b = AC
斜邊： c = AB

ΔAIC面積 = 3
(1/2) x r x b = 3
(1/2) x r x b = 3
b = 6/r

b/c = sin B
6/rc = sin60°
6/rc = (√3/2)
c = 12/r√3
c = 4(√3)/r

a/b = tanA
a/(6/r) = tan30°
ar/6 = (√3)/3
a = 2(√3)/r

內切圓半徑：
r = (a + b - c)/2
r = [2(√3)/r + (6/r) - 4(√3)/r]/2
4r² = 2(√3) + 6 - 4(√3)
r² = (3 - √3)/2

ΔABC 的面積
= (1/2) x a x b
= (1/2) x [2(√3)/r] x (6/r)
= 6(√3) / r²
= 6(√3) / [(3 - √3)/2]
= 12(√3)(3 + √3) / (3 - √3)(3 + √3)
= (36 + 36√3) / (3² - 3)
= 6 + 6√3

2014-01-03 02:52:27 補充：
3. 後半部修正如下：

內切圓半徑：
r = (a + b - c)/2
r = [2(√3)/r + (6/r) - 4(√3)/r]/2
2r² = 2(√3) + 6 - 4(√3) <------ (這一步把 2r² 錯誤寫成 4r²，導致以後的錯誤。)
r² = 3 - √3

ΔABC 的面積
= (1/2) x a x b
= (1/2) x [2(√3)/r] x (6/r)
= 6(√3) / r²
= 6(√3) / (3 - √3)
= 6(√3)(3 + √3) / (3 - √3)(3 + √3)
= (18 + 18√3) / (3² - 3)
= 3 + 3√3

感謝喔!!!!!!!!

抱歉，「平方」以及「圓周率(ㄆㄞ)」打不出來請見諒
1.設此三角形兩股長分別為x、x+7
=〉x+(x+7)+√x2+(x+7)2=30
=〉√x2+(x+7)2=30-2x-7
=〉4x2+529-92x=x2+x2+14x+49
=〉x2-53x+240
(十字交乘)=〉x=48or5(48不合)=〉x=5
故此三角形三邊長為5 - 12 - 13
設
a+b=5
a+c=12
b+c=13
解得a=2,b=3,c=10
=〉a為內切圓半徑
內切圓面積≒5×5×3.14=78.5
2.條件不足，無法作答
(但可知三邊比例為3:4:5)
3.將內心與三角形三頂點分別作連接，所形成的三個小三角形面積比=原三角形三邊長比
=〉1:√3:2=邊BC:3:邊AB=√3:3:2√3
原三角形面積=3√3

答案：
1.約78.5平方公分
2.(略)
3.3√3平方公分

(以上想請發問者再檢查幾次，因為本人不保證答案正確)
(OS:真的很多題...你他X逗我？)

2014-01-01 12:54:41 補充：
(最後一行請忽略...)

1.
三邊為5,12,13
5+12+13=30
12-5=7

三角形面積=5*12/2=30
s=30/2=15

內切圓半徑=30/15=2

內切圓面積=2*2拍=4拍=12.56(平方公分)

2014-01-01 12:24:06 補充：
2.
設為3,4,5

三角形面積=3*4/2=6

s=(3+4+5)/2=6
內切圓半徑=6/6=1