求2^1000的末3位數?

求2^1000的末3位數?
Sol
A=2^1000的末3位數
=4^500的末3位數
=16^250的末3位數
=256^125的末3位數
=256^124*256的末3位數
=65536^62*256的末3位數
=536^62*256的末3位數
=287296^31*256的末3位數
=296^31*256的末3位數
=296^30*296*256的末3位數
=87616^15*75776的末3位數
=616^15*776的末3位數
=616^14*616*776的末3位數
=379456^7*478016的末3位數
=456^7*16的末3位數
=456^6*456*16的末3位數
=207936^3*7296的末3位數
=936^3*296的末3位數
=936^2*936*296的末3位數
=876096*277056的末3位數
=96*56的末3位數
=5376的末3位數
=376

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2^1000 mod 1000
≡ 1024^100 .... (2^10 = 1024)
≡ 24^100

24^1 ≡ 024
24^2 ≡ 576
24^3 ≡ 824
24^4 ≡ 776
24^5 ≡ 624
24^6 ≡ 976
24^7 ≡ 424
24^8 ≡ 176
24^9 ≡ 224
24^10 ≡ 376
週期是10，所以 24^100 ≡ 376， 即
2^1000 mod 1000 ≡ 376

2^10=1024,可發現每差20次方,千百位數差8,十個位數不變
2^30=1824,
2^50=2624,
.
.
.
.
2^990=0224,

2^990*2^10=0376

利用Excel計算 :
A1輸入 2
A2輸入 =MOD(2*A1,1000)
下拉到A1000
A1000的計算結果為 376

Ans: 376

2014-01-01 00:13:11 補充：
如果要用數學方法:
2^10 = 1024
2^20 = (...024)^2 = ...576
2^40 = (...576)^2 = ...776
2^80 = (...776)^2 = ...176
2^160 = (...176)^2 = ...976
2^320 = (...976)^2 = ...576
2^640 = (...576)^2 = ...776
2^1000 = 2^640*2^320*2^40 = (...776)(...576)(...776) = ...376
Ans: 376