幾題數學題目

1. 10000/6 = 1666.7答：至少需要得 1667 票可篤定進入總決賽。
2. 若 n = 2^3*3^4, 則它的 20 個正因數是：1, 3, 3^2, 3^3, 3^4, 2, 2*3, 2*3^2, 2*3^3, 2*3^4, 2^2, 2^2*3, 2^2*3^2, 2^2*3^3, 2^2*3^4, 2^3, 2^3*3, 2^3*3^2, 2^3*3^3, 2^3*3^4它們的積 = 2^(5+5*2+5*3) * 3^[(1+2+3+4)*4] = 2^30 * 3^40所以 n = 2^3*3^4 = 8*81 = 648。
3. 若a是方程式X^4+X^3+X^2+X+1=0的一個負數根, 則a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0==> (a - 1)(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1) = 0 ... (因a是負數, 所以(a-1)不會是0)==> a^5 - 1 = 0==> a^5 = 1所以(a^4 + 1)(a^3 + 1)(a^2 + 1)(a + 1)= (a^4 + 1)(a + 1)(a^3 + 1)(a^2 + 1)= (a^5 + a^4 + a + 1)(a^5 + a^3 + a^2 + 1)= (a^4 + a + 2)(a^3 + a^2 + 2)= a^7 + a^6 + 2a^4 + a^4 + a^3 + 2a + 2a^3 + 2a^2 + 4= a^2 + a + 3a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 2a + 4= 3a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 3a + 4= 3(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1) + 1= 1
4. X^2 + 5Y^2 - 4XY - 2Y + 4= (X^2 - 4XY + 4Y^2) + (Y^2 - 2Y + 1) + 3= (X - 2Y)^2 + (Y - 1)^2 + 3最小值時是當 X = 2Y 及 Y = 1, 即當 X = 2, Y = 1 時, 它的最小值是 3.
5. 餘弦定律：cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)所以 sin A = √[4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2] / (2bc)tan A = √[4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2] / (b^2 + c^2 - a^2)好明顯, 只有 cos A 必為有理數. (答案是(B))
6. 設有 n 個數據 x1, x2, x3, ... xn. 平均數為 m. 標準差為 s. 所以 s^2 = Σ(xi - m)^2 / n, 即 n*s^2 = Σ(xi - m)^2 現多了一個數據 m, 則新資料的平均數依然是 m, 假設新標準差為 t, 則t^2 = [Σ(xi - m)^2 + (m - m)^2] / (n + 1)==> (n + 1)*t^2 = n*s^2因 (n + 1) > n, 所以 t^2 < s^2, 即 t < s.即新標準差會變小。

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40=(m+10)+m(m+10)

0=m^2+11m-30

m=[-11+√(121+120)]/2=2.26 => m=2

n=m+2=12.26 => n=13

核對:

2+4+8=>3

2(3+3^2+.....+3^13)=>13

4(3+3^2+.....+3^13)=>13

2總額=3+13*2=29 => 無法達到2^30

3+9+27+.....+3^13=>13

3(2+4)=>2

9(2+4)=>2

.......

3^13(2+4)=>2

2013-12-26 10:59:33 補充：
3總額=13+2*13=39 => 無法達到3^40

近似值: n=4*3^13=6,377,292.....ans

P(6,377,292)=2^29*3^39