請問這種微分方程式怎麼求解阿?

我這邊假設是在R上求解(最一般的情況)
先求去掉常數後微分方程m'(t) = - 3 / (100 - t) *m(t) 的解
此為形式m'=f*m，其中f=3/(100-t)
再來我們觀察f，他在R上並非連續，所以要分區間討論解，最後再於不連續的點(t=100)找出共通解。

預備積分知識：1/x的一個反導函數為ln│x│ (ln x的絕對值)

1.在(-∞,100)
我們找f的一個反導函數，可求出是3ln│100-t│=3ln(100-t)=ln(100-t)^3
m'=f*m 的 m 的通解是 m=λe^(ln(100-t)^3)=λ(100-t)^3 ，λ為一常數。
再回到原題 m'(t) = 2 - 3 * m(t) / (100 - t)，我們使用變換常數法，m=λ(t)*(100-t)^3，此處λ(t)為一t的函數(而並非常數)，將m帶入化簡後得λ'=2/(100-t)^3，解得λ=1/(100-t)^2+C1，C1為常數。
所以m=(100-t)+C1(100-t)^3。(於(-∞,100)區間中的通解)

2.在(100,∞)
f的一個反導函數為3ln│100-t│=3ln(t-100)=ln(t-100)^3
此後程序跟之前一樣，這邊可求得通解是m=(100-t)+D(t-100)^3，D為常數。
用C2=-D代換後可發現他也是m=(100-t)+C2(100-t)^3 的形式。(於(100,∞)區間中的通解)

3.最後一步為在t=100找出共通解
要是共通解，必須要在t=100連續且可微。
我們可看出不管C1與C2如何，在t=100都是連續的。(極限都是0)
在(-∞,100)上m的微分為-1-3C1(100-t)^2
在(100,∞)上m的微分為-1-3C2(100-t)^2
所以在t=100時，不管C1與C2如何，解都是可微的(極限都是-1)


因此此題解為m=┌(100-t)+C1(100-t)^3 於(-∞,100]
.......................└(100-t)+C2(100-t)^3 於[100,∞) ，其中C1與C2為任意常數。

2013-12-21 16:35:41 補充：
to樓上
1/(100-t)爆炸不代表1/(100-t)*m爆炸...
最簡單的例子就是y'=1/x*y啊
這個方程式在R上是有解的：y=ax，即便1/x在x=0 "blows up"....
第3步是完全需要的ok?

請確認

2013-12-21 16:42:15 補充：
to 麻辣 大
-3/(100-t)在R上非連續所以你不能直接在R上做積分，必須要分區間討論
得出來的結果是他的general solution可以在兩個區間內取不同的常數，而並非在R上都是同一常數

2013-12-21 16:44:13 補充：
第三行打錯，更正為"f=-3/(100-t)"

不錯的回答 又有耐心

請問: m'(t)=2-3*m(t)/(100-t) 要怎麼求解阿Ans:dm/dt=[2(100-t)-3m]/(100-t)(100-t)dm=(200-2t-3m)dt這是非齊次方程式, 令t=x+100, dt=dx, 使原式轉變成齊次方程式:(100-x-100)dm=(200-2x-200-3m)dxxdm=(2x+3m)dx齊次方程式可以令m=ux => dm=udx+xdux(udx+xdu)=(2x+3ux)dx => udx+xdu=(2+3u)dxxdu=2(1+u)dx => du/(1+u)=2dx/x∫du/(1+u)=2∫dx/xln(u+1)=2ln(cx)u+1=(cx)^2m/x+1=kx^2.....k=c^2m/x=kx^2-1 => m=x(kx^2-1)m(t)=(t-100)[k(t-100)^2-1].....ans

to 安安 ( 初學者 3 級 ):

你的1. and 2. 完全正確但3.是個錯誤的蛇足，砍掉就完美了。
此題是標準的1st order linear equation for m(t) , at t not equal to 100. At t=100, coefficient of m(t) blows up, we don't expect to have solutions. Besides, ln|t-100| in either 1. or 2. shows this clearly.

這題要求t還是m(t)?