✔ 最佳答案
1)x² 項的係數為 1 , 3 , 5 , ... , 2n-1 中取遍任何2個之積的和
= 1×3 + 1×5 + ... + (2n-3)(2n-1)
= [(1 + 3 + 5 + ... + 2n-1)² - (1² + 3² + 5² + ... + (2n-1)²)] / 2
= [((1 + 2n-1)n/2)² - (1² + 2² + 3² + 4² +...+ (2n-1)² - (2² + 4² +...+ (2n-2)²))] / 2
= [n⁴- (2n-1)(2n)(4n-2+1)/6 + 4(1² + 2² + ... + (n-1)²)] / 2
= [n⁴- n(2n-1)(4n-1)/3 + (n-1)2n(2n-1)/3] / 2
= [3n⁴- n(2n-1)(4n-1) + (n-1)2n(2n-1)] / 6
= [3n⁴- n²(4n-1) - n(n-1)(4n-1) + (n-1)2n(2n-1)] / 6
= [n²(3n² - 4n+1) - n(n-1)(4n-1) + (n-1)2n(2n-1)] / 6
= [n²(n-1)(3n -1) - n(n-1)(4n-1) + (n-1)2n(2n-1)] / 6
= (1/6) n (n - 1) (3n² - n - 4n+1 + 4n-2)
= (1/6) n (n - 1) (3n² - n - 1)
2)P(紅色先取完)
= P(紅先白先黑) + P(紅先黑先白)
= P(紅先白) P(黑末) + P(紅先黑) P(白末)
= 3/(4+3) × 5/(4+3+5) + 5/(4+5) × 3/(4+3+5)
= 3/7 × 5/12 + 5/9 × 3/12
= 5/28 + 5/36
= 20 / 63 別解:
P(紅色先取完)
= P(紅白黑 或 紅黑白)
= P(黑紅白 或 紅黑白 或 紅白黑) + P(白紅黑 或 紅白黑 或 紅黑白)
- P(黑紅白 或 白紅黑 或 紅黑白 或 紅白黑)
= P(紅先白) + P(紅先黑) - P(紅非末)
= 3/(4+3) + 5/(4+5) - (3+5)/(4+3+5)
= 3/7 + 5/9 - 2/3
= 20 / 63
3)以時鐘1至12點對比圓之內接正12邊形之頂點 ,
則以圓之內接正12邊形之頂點為頂之正方形共 3 個, 頂點如下 :
(12 , 3 , 6 , 9) , (1 , 4 , 7 , 10) , (2 , 5 , 8 , 11)。
4)在 1000 至 1000000 中,
平方數為 32² 至 1000² 共 969 個,
立方數為 10³ 至 100³ 共 91 個,
六次方數(既是平方數也是立方數) 為 4⁶ 至 10⁶ 共 7 個。
n(S) = 10⁶ - 10³ + 1 - 969 - 91 + 7 = 997948 。
5)x = p + 3q
y = 2p + qx - 3y = - 5p ≤ - 5(0)
x - 3y ≤ 0 ... (1)2x - y = 5q ≥ 5(0)
2x - y ≥ 0 ... (2)x + 2y = 5(p+q) ≤ 5(1)
x + 2y ≤ 5 ... (3)(1) & (2) 之頂點為 (0,0) ,
(1) & (3) 之頂點為 (3,1) ,
(2) & (3) 之頂點為 (1,2)。∴ A三角形區域面積為
| | 0 0 | |
| | 3 1 | | × 1/2
| | 1 2 | |
| | 0 0 | |= |(3×0 + 1×1 + 0×2 - 0×1 - 3×2 - 1×0)| × 1/2
= 5/2
