x^∞+y^∞=n(n>0)的圖形為何?

基本上x^∞是個發散的數值
也就是他也等於∞
例如將他取對數值後
它變成∞*ln(x)
除了x=1之外，其他值都是∞
而x=1時，∞*0是無法得知他的意義的
因為我們不知道∞是甚麼形式，0又是什麼形式
如limx->∞[(x+1)*(1/x)]是1
但limx->∞[x*(1/lnx)]卻是發散的
也就是說除了x和y都等於一之外，
其他都是沒有解的(∞=實數??)
而x和y=1則是沒有定義，
所以這個問題本身就沒有甚麼意義。

另外你可以用低次方的開始看起，慢慢往上加
看會發生甚麼事
(個人認為奇數次方和偶數次方要分開討論
而且應該不會有甚麼結果吧)

2013-12-18 16:52:12 補充：
我借別人的電腦用函數產生軟體看了一下
以m=1來說
偶數次方的確會越來越接近正方形
四個頂點會在(1,1)(-1,1)(-1,-1)(1,-1)

而奇數次方y軸左邊會接近斜率為-1的直線
y軸右邊是一個階梯形狀從(0,1)到接近(1,1)再下來到(1,0)
不會到(1,1)但會很接近

你可以找軟體來畫畫看
不過通常都要錢
如
Mathematica(很貴)
matlab(也要錢)

2013-12-18 16:53:48 補充：
喔對了
他們都會是連續的圖形
只有到n->∞才不連續

當 n → ∞ 時, m^{1/n} → 1 對任何正值常數 m 都成立.

因此, 要考慮 x^n + y^n = m 的圖形在 n→∞ 時會發展成什麼樣子,
竊以為宜將 m 定為 1.

由於 |y| < 1 則 y^n → 0 當 n→∞, 因此,
n→∞ 時, 在 |y|<1 處皆得 x^n→1, 這只有 |x|=1 才可能;
在 y=1 時, y^n 恆為 1, 故 x 為 0.
在 y=-1 時, 除非限制 n 是偶數, 否則 y^n 無極限, 因此 x^n+y^n = 1
也無一個 x 存在於極限圖形.

2013-12-23 10:09:49 補充：
所以, 限制在第一象限, 則形式意義上的 x^∞ + y^∞ = 1 的圖形是
x 軸上 (0,1] 與 y 軸上 (0,1].

限制 n 為偶數, 則形式上 x^∞ + y^∞ = 1 的圖形是 x 軸上 [-1,1]
與 y 軸上 [-1,1] 兩者, 而原點 (0,0) 去除.

n=1 時 |x|+|y|=1 是一菱形(也是正方形), n 增大時成為凹向中心的
有4個尖角的曲線, 而 n→∞ 時圖形的極限就是如上列第二段所描述
的, 只是 (0,0) 這一點其實是圖形極限存在的, 卻不符合 |x|^∞ + |y|^∞ = 1
這個形式上的 "方程式".

有"x^∞"這東西嗎?
∞ 只是一個概念,不是一個數,
∞ 它本身都不存在了,更何況 x^∞