✔ 最佳答案
1.若以q=每秒5立方公分的速度將一球形氣球充氣，當半徑增加至r=10公分時，求半徑對時間t之變率dr/dt=?。Ans:V=Volume=q*t=4*pi*r^3/33qt=4pi*r^33q=12pi*r^2*r'r'=q/4pi*r^2=5/4*pi*100=1/80*pi(cm/s).....ans
2.一個梯子長L=10呎斜靠著牆，當梯子底端以Vx=每秒2呎之速率遠離牆邊，滑至距牆x=6呎時，問梯子頂端下降之速率是多少dy/dt=?Ans:L^2=x^2+y^2 => 0=x*dx/dt+y*dy/dtdy/dt=-x*Vx/y=-x*Vx/√(L^2-x^2)=-6*2/√(100-36)=-12/8=-3/2=-1.5(fps).....ans=負數向下
3.若一球的半徑為r=4吋，表面塗上厚t=0.01吋之油漆，問所需油漆體積多少?Ans:V1=4pi*r^3/3V2=4pi*(r+t)^3/3ΔV=V2-V1=4*pi[(r+t)^3-r^3]/3=4*pi(3r^2*t+3rt^2+t^3)/3≒4*pi*3r^2*t/3=4*pi*r^2*t=4*16*0.01*pi=0.64*pi(in^3).....ans
4.令A為一正方形面積，邊長為x；假設x隨時間變化。(a)求dA/dt和dx/dt 之間的關係。Ans:A=x^2 => dA=2x*dx/dt
(b)當此正方形邊長為x=5吋，並以V=每分鐘2吋的速率增長時，求面積之增加速率。dA/dt=2*5*2=20(in^2/min)
5.一壘球場的內野為邊長60呎的正方形，若跑者以每秒25呎的速率從二壘跑向三壘，當他離三壘20呎時，求其與本壘間的距離變化率dx/dL=?。Ans:座標化: 本壘=(0,0), 1壘=(60,0), 2壘=(60,60), 3壘=(0,60)L^2=x^2+36002L=2x*dx/dL+0dx/dL=L/x=√(3600+x^2)/x=√(3600+400)/20=20√10/20=√10
2013-12-16 07:47:07 補充：
(3) 使用微分法來解:
V=4pi*(r+t)^3/3
dV=4*pi*3(r+t)^2*dr/3
=4*pi(r+t)^2*dr
≒4*pi*r^2*dr
=4*pi*r^2*t.....dr=t
=4*16*0.01*pi
=0.64*pi
