tanα及tanβ(0°＜β＜α＜90°)為二次方程的根

是否二次方程x^2-(1+k)x+k=0
若是,
則
1)　tan(α+β) = [tan α+tan β]/[1-tan α tan β] = [1+k]/[1-k]

tan(α-β) = [tan α-tan β]/[1+tan α tan β] = √[(tan α-tan β)²]/[1+k]
=√[tan² α+tan² β-2tan α tan β]/[1+k]
=√[(tan α+tan β)²-4tan α tan β]/[1+k]
=√[(1+k)²-4(k)]/[1+k]
=√[(1-k)²]/[1+k]
= | 1-k |/[1+k]

2)

[1+k]/[1-k]+ | 1-k |/[1+k] = 4
[1+k]/[1-k]+[1-k]/[1+k] = 4　或　[1+k]/[1-k]+[-(1-k)]/[1+k] = 4
k=±1/√3　或　k=0.5[-1±√5]

tan α+tan β = 1+k
tan α = 1+k-tan β

tan α tan β =k
(1+k-tan β)tan β =k
(1+k)tan β -tan² β -k =0
tan β = 1　或　tan β = k

∴β=30°, α=45°　或　β=45°, α=58.3°

2013-12-15 00:45:06 補充：
注意2次方與根號消去時要變成絕對值
√(x^2) = 4
| x | = 4
x =4 or -4

2013-12-16 01:05:39 補充：
絕對值定義:
| x | = y
則x=y 或 -x=y

所以
[1+k]/[1-k]+ | 1-k |/[1+k] = 4
則　[1+k]/[1-k]+[1-k]/[1+k] = 4　或　[1+k]/[1-k]+[-(1-k)]/[1+k] = 4

2013-12-16 01:42:18 補充：
因為tan(α-β)>0
tan(α-β)= | 1-k |/[1+k]
當k=0.5[-1+√5]
則tan(α-β)<0

所以只有
β=30°, α=45°
這個解

tan(α - β) = |k - 1|/(1 + k)

For k = (√5 - 1)/2, α = 45, β = 31.7175
LHS
= tan(α - β)
= tan(45 - 31.7175)
= tan 13.2825
= 0.236068
RHS
= |k - 1|/(1 + k)
= |(√5 - 1)/2 - 1|/[1 + (√5 - 1)/2]
= |-0.3819660|/1.6180340
= 0.236068

LHS = RHS
所以此答案是正確的。
即答案的確有兩個⋯⋯課本錯誤。

(很多時意見欄的比回答欄的精確。)

因為 k > 0
所以 k = 1/√3 或 k = (√5 - 1)/2

若 k = 1/√3, 則
α = 45, β = 30

若 k = (√5 - 1)/2, 則
α = 45, β = 31.7175

因為　β < α
所以 α - β > 0
所以 tan(α - β) > 0

所以你未知 k 大還是 1 大，寫 |k - 1|/(k+1) 則必是正數。
（當然你也知 k > 0 )