幾題數學題目

1. 因半徑是 10, 利用畢氏定理, 所以 BC 與圓心的距離是 6.假設 BC 是在圓心的下方, 則三角形面積 a = (1/2)(16)(10 + 6) = 128三角形面積 b = (1/2)(16)(10 - 6) = 32所以 a - b = 96
2. 高與邊成反比, 計算各選項的邊比得A：20x, 15x, 12xB：156x, 65x, 60x ... (156x > 65x + 60x)C：104x, 91x, 56xD：255x, 136x, 120x只有 (B) 的中三條邊不能組合成三角形.
3. 設 N = f1^(3p1) * f2^(3p2) * f3^(3p3),所以 N 的正因數的個數 = (3p1 + 1)(3p2 + 1)(3p3 + 1)因為 3p + 1 只可能是 1, 4, 7, 10, 13, ... , 31, 34, ... , 100, 103, ...A：101 = 1 * 1 * 101 ... (101 不合)B：102 = 1 * 3 * 34 ..... (3 不合)C：103 = 1 * 1 * 103D：104 = 2 * 4 * 13 ...... (2 不合)所以答案是 (C).
4. 假設 a, b, c 為整數, 則(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + c) = x^4 + (a+b)x^3 + (ab+c+1)x^2 + (ac+b)x + c所以a + b = 1 ......... (i)ab + c + 1 = 1==> ab = -c ..... (ii)ac + b = 0 ....... (iii)c = 1 或 2 或 3 或 4若 c = 1, 從 (iii) 得 a + b = 0, 此式與 (i) 矛盾, 捨去.若 c = 2, 從 (i), (iii) 得 a = -1, b = 2, 代入 (ii) 亦乎合.若 c = 3, 從 (i), (iii) 得 a = -1/2, b = 3/2, 代入 (ii) 得 (-1/2)(3/2) = -3/4 <> 3, 捨去.若 c = 4, 從 (i), (iii) 得 a = -1/3, b = 4/3, 代入 (ii) 得 (-1/3)(4/3) = -4/9 <> 4, 捨去.所以 (B) 可因式分解.x^4 + x^3 + x^2 + 2 = (x^2 -x + 1)(x^2 + 2x + 2)
5. f(2x) = 2/(x + 2)==> f(2x) = 4/(2x + 4)==> f(x) = 4/(x + 2)==> 2f(x) = 8/(x + 2)

1.
BC弦心距可算得6
若為銳角三角形，BC邊上的高=10+6=16，面積=16*16/2=128
若為鈍角三角形，BC邊上的高=10-6=4，面積=16*4/2=32
128-32=96
2.
高與邊正好成倒數比
計算各選項的邊比得
A為20：15：12
B為156：65：60
C為104：91：56
D為255：136：120
只發現B中，156>65+60，無法符合兩邊和大於第三邊，故答案為B

2013-12-05 10:02:16 補充：
3.
正因數個數算法=指數+1再相乘
某數的立方，故標準分解式中，指數必有一個為3的倍數
其正因數個數必為(3的倍數+1)的倍數
A中101為質數，無法成為(3的倍數+1)的倍數
B中102=2*3*17，無法成為(3的倍數+1)的倍數
C中103為質數，無法成為(3的倍數+1)的倍數
D中104=8*13=8*(3*4+1)，故此為答案

2013-12-05 10:03:21 補充：
4.沒有一次因式(有點複雜，好像要用到高中戡根定理比較好說明)
假設其因式分解必為(x^2+ax+2)(x^2+bx+1)
…(這裡以正解為例，其他可以自己算算看)
(沒有(-2)*(-1)的原因，是因為沒有一次因式，需要有虛根，若常數項為負數，根據判別式，不會出現虛根)
比較各係數，得a+b=1，ab+2+1=1，a+2b=0，聯立解得a=2，b=-1
得(x^2+2x+2)(x^2-x+1)
(其他無法分解，可自行嚐試)

若是國中沒教虛根，請將它看成無解的狀況，用判別式理解之

2013-12-05 10:04:04 補充：
5.
若f(2x)=2/x+2，設y=2x，即x=y/2，代入得，f(y)=2/(y/2)+1=4/y+1，得2f(x)=8/x+2


若f(2x)=2/(x+2)，設y=2x，即x=y/2，代入得，f(y)=2/(y/2+2)=4/(y+4)，得2f(x)=8/(x+4)

讓給高人作.........

麻辣大第二題和第三題的算法我看不懂,
第二題我算B,第三題我算C.