微積分的題目

這些題目結合到了Chain rule、隱函數微分、對指數微分。
其中由Chain rule、隱函數微分可以搭配不論對數數微分，或者三角函數微分，我先寫一些我覺得比較重要要部份讓您參考看看，希望您能在這些地方抓到感覺。

首先先說Chain rule，學微積分的過程中，會有許多基本公式，例如x^n次方的微分…等，而在這些基本公式之後，會有些題目有點像這些基本式卻又有些許的不同，例如(x+7)^5都是某些東西的5次方，Chain rule就是用在這些時候。


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AA00645012/o/20131202231816.jpg

有陰影的地方是Chain rule一般會表示的方法，我們此刻重點是看看怎麼樣使用這個rule，所以一邊看例子。

不論是小框框，或者u，或者g(x)都是相同的東西，在x^n次方的微分會變成nx^(n-1)，這是建立在我們是對x微分。

「x^n次方的微分」這一句話其實少了些東西，完整的要說應該是「x^n次方對x的微分」，少的是“對誰微分”。

因為在不會誤會的情況下我們會省略對誰微分。

所以，如果次方要掉下來變係數，然後原次方減1，它必需要建立在「框框」的n次方對 「框框」微分 ，如此才會 變成n．「框框」的(n-1)次方。

所以要用chain rule時，要先看這個式子像什麼基本公式，以上面的例子1，它是x^n的模式，框框 = x^2 - 2x。

例子2是e^x的模式，框框 = 3x + 7。

所以我在面對面教的時候，通常就把整個東西框起來，所以在此我也用框框來比喻。

先對框框微分，然後我們要再乘上框框對x微分。以上就是chain rule。

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AA00645012/o/20131202231916.jpg


這邊的第一個例子，是ln x的變形，只是ln裡頭又是另個ln，不過不管外頭的ln裡是什麼，雖然我用比較正式的寫法，令成u，不過你一樣可以直接把裡頭的東西框起來，然後把chain rule寫下來，最後再把框框填入他應該表示的東西即可。

所以一但將u看成框框時，先對框框微分，再乘上框框對x微分即可。
所以你的第一題就是這個模式再多一層。同樣的模式要操作兩次。

第二個例子是我們要應用對數可以將指數拿下來的性質，所以會兩邊取對數。
然後LHS是left hand side，也就是等號左邊，RHS就是等號右邊。
我們分開討論等號左右的結果，再移項整理。


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AA00645012/o/20131202235823.jpg

這邊的例子只是要展示對數在分式上的威力，我們學過一般分數的微分，要用一般的分式公式來做當然是可以，但是分母平方分之分子先微分…可以想像展開後整個可怕的長像。

而對數可以把分式分解，分解後就變成對數微分的問題，然後一樣要結合Chain rule

所以還有帶根號的，根號可以視為指數½次，所以可以再掉到ln的前面，先試著解看看吧。

2013-12-03 22:04:23 補充：
https://www.dropbox.com/s/ahmcnaln1d3yc6w/%E8%9E%A2%E5%B9%95%E6%88%AA%E5%9C%96%202013-12-03%2022.03.27.png

這邊給一些方向，結合前面寫的，先試試看吧。

2013-12-04 19:43:20 補充：
https://www.dropbox.com/s/acmeplpbx5nxtad/1204-1.png

https://www.dropbox.com/s/n307gx0jcp70omx/1204-2.png

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1.y(x)={ln[ln(ln(x))]}y'(x)={1/[ln(ln(x))]}*[ln(ln(x))]'={1/[ln(ln(x))]}*{1/(ln(x)}*(ln(x))'=1/{[ln(ln(x))*ln(x)}*1/x=1/{x*ln(x)*ln[ln(x)]}

2.y(x)=log(x,|x^2-1|).....x=base=ln|x^2-1|/ln(x)=A(x)/B(x)A(x)=ln|x^2-1| => A'(x)=|2x/(x^2-1)|B(x)=ln(x) => B'(x)=1/xy'(x)=(B*A'-A*B')/B^2={ln(x)*|2x/(x^2-1)|-ln|x^2-1|/x}/[ln(x)]^2={ln(x)*x*|2x/(x^2-1)|-ln|x^2-1|}/x*[ln(x)]^2

3.y(x)=√{[(x^2+1)(x^2+2)]/[(2x+1)(3x+1)]}=√{A(x)/B(x)}A(x)=[(x^2+1)(x^2+2)] => A'(x)=2x(x^2+2)+2x(x^2+1)=2x(2x^2+3)B(x)=[(2x+1)(3x+1)]=> B'(x)=2(3x+1)+3(2x+1)=12x+5
y'=1/2√(A/B)*(A/B)'=1/2√(A/B)*(B*A'-A*B')/B^2=1/2√(A/B)*{[(2x+1)(3x+1)]*2x(2x^2+3)-[(x^2+1)(x^2+2)]*(12x+5)}/B^2=1/2√(A/B)*[(24x^5+20x^4+40x^3+30x^2+6x)-(12x^5+5x^4+36x^3+15x^2+24x+10)]/B^2=1/2√(A/B)(12x^5+15x^4+4x^3+15x^2-18x-10)/([(2x+1)(3x+1)]^2=1/[2√(A/B)*B^2]*(12x^5+15x^4+4x^3+15x^2-18x-10)
4.y(x)=e^[e^(e^x)]
y'(x)=
e^[e^(e^x)]*[e^(e^x)]'=e^[e^(e^x)]*[e^(e^x)]*(e^x)'=e^[e^(e^x)]*[e^(e^x)]*(e^x)

5.y(x)=x^(x^2)=x^a.....a=x^2 => a'=2xy'=a*x^(a-1)*a'=x^2*x^(x^2-1)*2x=2x^3*x^(x^2-1)
6.y(x)=3^xln(y)=x*ln(3) => y'/y=ln(3)y'=y*ln(3)=3^x*ln(3)

7.y(x)=e^(e^(x^2))y'=e^(e^(x^2))*[e^(x^2)]'=e^(e^(x^2))*e^(x^2)*(x^2)'=2x*e^(x^2)*e^[e^(x^2)]
8.y(x)=x^π+π^x-π^πy'=πx^(π-1)+π^x*ln(π)+0.....參考第6題=πx^(π-1)+π^x*ln(π)

9.y=ln|(√(x^2+1)+x)/(√(x^2+1)-x)|=ln|A(x)/B(x)|C(x)=(x^2+1)A(x)=(√(x^2+1)+x) => A'=(x/√(x^2+1)+1)B(x)=(√(x^2+1)-x) => B'=(x/√(x^2+1)-1)y'=|B/A|*|A/B|'=|B/A|*|(BA'-AB')/B^2|=|(BA'-AB')/AB|=|[(√(x^2+1)-x)(x/√(x^2+1)+1)-(√(x^2+1)+x)(x/√(x^2+1)-1)]/AB|=|(√C-x)(x+√C)/√C-(√C+x)(-√C+x)
10.y(x)=ln|2x+1|,求y<n>(x)=?y'=2/|2x+1|y"=-2^2/(2x+1)^2y"'=2^3*2!/|2x+1|^3y""=-2^4*3!/(2x+1)^4y<5>=2^5*4!/|2x+1|^5......y<n>=(-1)^n*2^n*k!/|2x+1|^n.....k=n-1

2013-12-02 20:20:49 補充：
11.y(x)=∛x，由定義求y'(8)，求y'(x)

y=x^(1/3)

y'=(1/3)/x^(2/3)=1/3x^(2/3)

y'(8)=1/3*(2^3)^(2/3)

=1/2^2

=1/4

2013-12-02 20:22:12 補充：
12.F2(x)=D{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)}|_(x=0)

D=d/dx

F2'(x)=(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+(x+1)(x+3)(x+4)(x+5)+(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)

+(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)+(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

F2'(0)=2*3*4*5+1*3*4*5+1*2*4*5+1*2*3*5+1*2*3*4

=120+60+40+30+24

=250+24

=274

2013-12-02 20:22:37 補充：
13.設y(x)=(x+1)^3*√(2x+1)/[(3x+2)^2*∛(1-x)]，求y'(0),利用對數之性質

ln(y)=3*ln(x+1)+ln(2x+1)/2-2*ln(3x+2)-ln(1-x)/3

y'/y=3/(x+1)+1/(2x+1)-6/(3x+2)-1/3(1-x)

y'(x)=y(x)[3/(x+1)+1/(2x+1)-6/(3x+2)-1/3(1-x)]

y'(0)=y(0)[3+1-6/2-1/3]

=(8*1/4*1)*(4-3-1/3)

=2*(1-1/3)

=2*2/3

=4/3

2013-12-02 20:23:01 補充：
14.y(x)=D[x/(1+x)]^x

ln(y)=x[ln(x)-ln(1+x)]

y'/y=[ln(x)-ln(1+x)]+x[1/x-1/(1+x)]

y'(x)=y(x){ln[x/(1+x)]+x(1+x-x)/x(1+x)}

=y(x){ln[x/(1+x)]+1/(1+x)}

=[x/(1+x)]^x*{ln[x/(1+x)]+1/(1+x)}

2013-12-02 20:23:23 補充：
15.a=(x^y+y^x)，求y'

0=y*x^(y-1)+x*y^(x-1)*y'

y'=-yx^(y-1)/xy^(x-1)