Discrete Maths: Recurrence

Let n = 2ᵏ , then T(2ᵏ) = 3T(2ᵏ⁻¹) + (2ᵏ)²
⇒ T(2ᵏ) / 3ᵏ = T(2ᵏ⁻¹) / 3ᵏ⁻¹ + (2ᵏ)² / 3ᵏ
⇒ Σ(k=1→r) (T(2ᵏ) / 3ᵏ ) = Σ(k=1→r) ( T(2ᵏ⁻¹) / 3ᵏ⁻¹ + (2ᵏ)² / 3ᵏ )
⇒ Σ(k=1→r) (T(2ᵏ) / 3ᵏ ) - Σ(k=1→r) ( T(2ᵏ⁻¹) / 3ᵏ⁻¹ ) = Σ(k=1→r) ( (2ᵏ)² / 3ᵏ )
⇒ Σ(k=1→r) (T(2ᵏ) / 3ᵏ ) - Σ(k=0→r-1) ( T(2ᵏ) / 3ᵏ ) = Σ(k=1→r) ( 4ᵏ / 3ᵏ )
⇒ T(2ʳ) / 3ʳ - T(2⁰) / 3⁰ = Σ(k=1→r) ( 4ᵏ / 3ᵏ )
⇒ T(2ʳ) / 3ʳ - T(1) = Σ(k=1→r) (4/3)ᵏ
⇒ T(2ʳ) / 3ʳ - 1 = 4/3 (1 - (4/3)ʳ) / (1 - 4/3)
⇒ T(2ʳ) / 3ʳ - 1 = 4(4/3)ʳ - 4
⇒ T(2ʳ) = 3ʳ ( 4(4/3)ʳ - 3 )
⇒ T(2ʳ) = 4ʳ⁺¹ - 3ʳ⁺¹ ∴ T(n) = T(2ᵏ) = 4ᵏ⁺¹ - 3ᵏ⁺¹ , where k = log₂n.
⇔ T(n) = 4^(log₂2n) - 3^(log₂2n)