絕對極值問題求解

Find the absolute extremevalues taken on by f(x,y)=4x^2-xy+y^2+y
on the setx^2+(y^2/4)小於等於1 題目其實看不太懂àFind the absolute extreme values taken by f(x,y)=4x^2-xy+y^2+y
on the set D={(x,y)|x^2+(y^2/4)小於等於1}. 找出(連續)函數 f(x,y)在(closed and bounded) set D上的(絕對)極大極小值。這兩值是經由"Theextreme Value Theorem"保證存在的。步驟A. 找出1. f在Set D 的 interior critical points; 2.f在 Boundaryof D 上的極大極小點。 它們是所有可能的候選人。步驟B. 比較所有候選點上的f值一決勝負。大大已完成A1: P(x,y)=(-1/15,-8/15)-----唯一的interiorcritical point. 至於A2, 建議用極坐標:x=cost, y=2sint . 則f=4-2costsint+2sint=F(t) ,on boundary of D, a function of only one variable,Using F’=0, one can find F has max or min when cost=1 or -1/2. Or equivalently,when t=0, pi/3, or 2pi/3. --à A2 有 3 候選點: Q(1,0),R (-1/2,sqrt(3)/2),and S(-1/2, -sqrt(3)/2).步驟B: f(P)=-64/225; f(Q)=4; f(R)=4+3sqrt(3)/2; f(S)=4+sqrt(3)/2.故結論如下:f(x,y) 在P(x,y)=(-1/15,-8/15)點取得在D上的絕對極小值 -64/225;f(x,y) 在R(x,y)=(-1/2,sqrt(3)/2),)點取得在D上的絕對極大值4+3sqrt(3)/2.

2013-11-22 21:48:15 補充：
更正: f(x,y) 在P(x,y)=(-1/15,-8/15)點取得在D上的絕對極小值 -64/225
-->f(x,y) 在P(x,y)=(-1/15,-8/15)點取得在D上的絕對極小值 -4/15. 感謝sam指正.

因為
P=(x,y)=(0,2) x^2+(y^2/4)<=1,
f(P)=f(0,2)=4*0^2-0*2+2^2+2=6 >f(1,0)=4
所以最大(小)值(absolute extreme values)不是4.

2013-11-22 10:04:49 補充：
因為
P=(x,y)=(0,2) 在x^2+(y^2/4)<=1上,
且f(P)=f(0,2)=4*0^2-0*2+2^2+2=6 >f(1,0)=4
所以f(x,y)在x^2+(y^2/4)<=1之
最大(小)值(absolute extreme values)不是4.

2013-11-22 13:06:27 補充：
f(x,y) 在P(x,y)=(-1/15,-8/15)點取得在D上的絕對極小值 -64/225;
也許是
-60/225=-4/15.

Find the absolute extreme values taken on by f(x,y)=4x^2-xy+y^2+y
on the set x^2+(y^2/4)小於等於1;我用f(x,y)分別對x以及y偏微分,令其等於零,解聯立得到y=-8/15,x=-1/15;然後就不知道怎麼算了...不知道題目給的橢圓要怎麼當條件去求出答案?
x^2+y^2/4-1<=0 => x^2+y^2/4-1+b=0; b>=0G(x,y,a)=(4x^2-xy+y^2+y)+a(x^2+y^2/4-1+b)Gx=8x-y+2ax=0 => a=(y-8x)/2xGy=-x+2y+1+ay/2=0 => a=2(x-2y-1)/y=(y-8x)/2x=> 4x^2-y^2-4x=0.....(1)Ga=x^2+y^2/4-1+b=0 => 4x^2+y^2+4(b-1)=0.....(2)(1)+(2): 2x^2-x+(b-1)=0x(b)=[1+-√(9-8b)]/2x(0)=(1+-3)/2=2,-1x(1)=(1+-1)/2=1,0(1): y(x)=+-√[4x(1-x)]y(0)=y(1)=0y(-1)=y(2)=虛數f(0,0)=0=min; f(1,0)=4=max.....ans

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