微積分-重積分

求圓錐面z=2r(r>=0)與柱面r=1-cosΘ,及平面z=0所圍體積。ans : (10/3)π
麻煩請回答得大大提供詳細算式過程及圖型,感激不盡 !!!Ans:r=1-cosQ, z=2r => dz=2drdV=dA*dz.....A=面積,z=高=(rdQ*dr)*2dr.....rdQ=弧長,dr=徑長=2r(dr)^2*dQV=∫∫∮2r*dr(r=0~r)*dr(r=-r~r)*dQ=∫∮r^2*drdQ(r=-r~r)=∮2r^3*dQ/3=2/3∮(1-cosQ)^3*dQ=2/3∮(1-3cosQ+3cos^2Q-cos^3Q)dQ=2/3{Q-3sinQ+3∮(1+cos(2Q)dQ-∮cos^3dQ}=2Q/3-0+2{Q+sin(2Q)/2}-∮cos^2Qd(sinQ)=2Q/3+2Q+0-∮(1-sin^2Q)dQ=2Q/3+2Q-Q+cos2Q/2=2Q/3+Q+0=5Q/3(Q=0~2pi)=10pi/3=版主答案x.y投影圖形=心臟形.頂點在原點.底部在-y軸y.z投影圖形=圓錐形.頂點在原點.



2013-11-16 17:38:32 補充：
修改後面的積分過程:

V=2/3∮(1-3cosQ+3cos^2Q-cos^3Q)dQ

=2/3*{Q-3sinQ}+∮(1+cos(2Q)dQ-2/3*∮cos^3dQ}

=2Q/3-0+{Q+sin(2Q)/2}-2/3*∮cos^2Qd(sinQ)

=2Q/3+Q+0-2/3*∮(1-sin^2(Q))d(sinQ)

=5Q/3-2/3*{sinQ-sin^3(Q)/3}

=5Q/3+0.....Q=0~2pi

=5Q/3

=10pi/3

=版主答案

2013-11-16 17:39:18 補充：
∮=積分

(dr)^2 ????