國中數學-平面幾何-證明題-補助線的作法001

作 ΔABC 的外接圓。 (作圖)

∠ABC = 90° (已知)
ABC 在外接圓的半圓內 (圓周角為直角)
因此，AB 為外接圓的直徑。

AD = DB (已知)
D 為 AB 中點，已證 AB 為外接圓的直徑。
因此，D 為外接圓的圓心。 (圓心為直徑的中點)

DB = DC (同圓半徑)

2013-11-13 15:32:09 補充：
另解：

取 BC 的中點 E，以及 AC 的中點 F。
連 DE、DF、CD 及 EF。 (作圖)

DE // FC (中點定理)
DF // EC (中點定理)
∠ECF = 90° (已知)
故此，DECF 為一長方形。 (兩對對邊平衡，且一內角為直角)

DC = EF (長方形兩對角線相等)
EF = (1/2)AB (中點定理)
因此，DC = (1/2)AB (公理)

AD = DB (已知)
故此 DB = (1/2)AB
已證 DC = (1/2)AB
故此 DB = DC (公理)

2013-11-13 15:43:47 補充：
以上補充中，「平衡」應為「平行」之誤。

AC中點P，BC中點Q
DP//BC且DQ//AC
DQCP為長方形
CD=QP=DB=AD
故得證