柯西不等式問題證明

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2013-11-12 6:09 am

a,b,c為正實數,(1/a^3+b^3-abc)+(1/b^3+c^3-abc)+(1/c^3+a^3-abc)=<1/abc

更新1:

求證明做法

更新2:

a,b,c為正實數,1/(a^3+b^3-abc)+1/(b^3+c^3-abc)+1/(c^3+a^3-abc)=<1/abc

更新3:

對不起題目更正1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)=<1/abc 且非用柯西不等式證明

回答 (5)

用戶2053

2013-11-14 2:15 pm

✔ 最佳答案

a ,b ,c為正實數,且非用柯西不等式證明
1/(a³ + b³ + abc) + 1/(b³ + c³ + abc) + 1/(c³ + a³ + abc) ≤ 1/(abc)解:
∵ (a - b)² ≥ 0 及 (a + b) > 0 ,
∴ (a - b)² (a + b) ≥ 0
⇔ (a - b) (a² - b²) ≥ 0
⇔ a³ + b³ ≥ ab² + ba²
同理可得 b³ + c³ ≥ bc² + cb² 及 c³ + a³ ≥ ca² + ac² 。故 1/(a³ + b³ + abc) + 1/(b³ + c³ + abc) + 1/(c³ + a³ +abc)
≤ 1/(ab² + ba² + abc) + 1/(bc² + cb² + abc) + 1/(ca² + ac² + abc)
= 1/( ab (a+b+c) ) + 1/( bc (a+b+c) ) + 1/( ca (a+b+c) )
= c/( abc (a+b+c) ) + a/( bca (a+b+c) ) + b/( cab (a+b+c) )
= (a+b+c) / ( abc (a+b+c) )
= 1 / (abc)

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知足常樂

2013-11-17 5:48 am

咁我今次咪誤打誤撞做左彩虹第一人？

都算係勝利呀～～

加油加油！！！

☆ヾ(◕‿◕)ノ

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