x / (x + 1) 的積分 答案不同?

下列兩種方法，答案為何不同?哪裡做錯了?
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第一
∫ [ x / (x + 1) ] dx
u = x + 1 ; du = dx
x = u－1
∫ [ (u－1) / u ] du
= ∫ [ u / u] du－∫ [1 / u] du
= ∫ 1 du－∫ [1 / u] du
= (u)－ln(u)
= x+1－ln (x+1)
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第二
∫ [ x / (x + 1) ] dx
∫1－ [1 / (x +1)] dx
= x －ln(x + 1)
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Sol
不定積分要加c
最正確作法
第一
∫ [ x / (x + 1) ] dx
u = x + 1 ; du = dx
x = u－1
∫ [ (u－1) / u ] du
= ∫ [ u / u] du－∫ [1 / u] du
= ∫ 1 du－∫ [1 / u] du
= (u) ln(u)+c1
= x+1－ln (x+1)+c1
=x－ln(x+1)+c
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第二
∫ [ x / (x + 1) ] dx
∫1 - [1 / (x + 1)] dx
= x－ln(x + 1)+c

不定積分積出來會有個不定常數,
所以有沒有加一都是一樣的答案.

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