✔ 最佳答案
根據基本的線積分基本定理(Fundamental theorem of line integrals), 很容易得到: "線積分(over C) A‧dr" 與路逕無關 若且唯若 " 向量場(vector field)A是個定義在(open)域D上的保守場(conservative field), 當然D要包含曲線路逕C" ---水準以上的微積分教科書皆找得到.
紅色底線的前一列就是檢驗A是個保守場, 大大似乎已瞭. 由於有 ln(...) 項, 需知D的選擇必需排除 x^2+y^2<=1, the whole closed unit disc! 故紅色底線的那列應該修改成
當路逕C不包括單位圓盤點,x^2+y^2<=1,時,線積分(over C) A‧dr 與路逕無關.
有點冒犯名家的解答. 憑良心說不但邏輯有誤且中文難懂. 難為版主了.
2013-11-04 08:36:29 補充：
在畫圖之前花點工夫深入瞭解”線積分與路逕無關”的這個性質。
1. 當我們說某某線積分與路逕無關 (於domainD)時，指的是該線積分的結果只與路逕的起點與終點有關---若二路逕的兩端點一致,則二線積分的結果(常數值)也一致，至於在其他以不同端點決定的路逕上，線積分結果值是不保證相同的。但是，每個”線積分與路逕無關”的定理敘述中幾乎都沒有提到這關鍵的起點與終點，算是潛規則吧。然而要畫圖就最好先定好它們。
2. 另一個關鍵的元素domainD 的選取則有一些巧門，與給定的向量場有直接關係。定理往往也不特別詳述，也算是潛規則吧。早先我不知此題的出處，故也沒有放心思於domainD上，
2013-11-04 08:37:46 補充：
這會兒就遭到批判了。
3. 最後與大大復習一段基本微積分裡眾所周知的例子:
我們都會說 f(x)=|x|不是個”可微分函數”,因為f’(x)在 domain of f=R上並不全都存在。在發現到這其中出問題的只有一點 x=0時，我們就可以說f(x)=|x|在(受限制的) domain (-3,-1) 上是”可微的”.[想辦法躲開 x=0就成了，畢竟可微分與否只是個local的性質]
2013-11-04 08:38:35 補充：
此例子要與大大分享的是這樣的一個概念: 透過選取適當的部分(受限制的) domain(-3,-1) or some other ones like (1,10), 我們有可能成功地讓一不可微分函數重享”可微分”的這個特質。
在知識+上貼圖我不很擅長，建議由我文字敘述，版主那端自己把圖畫出。如此解決自己問題的同時，版主也有實質的貢獻。
在平面座標上標示出unit disc x^2+y^2<=1, 這是個地雷區，往後選取的 domain D, path C, or initial point P and terminal point Q皆不可碰觸之。
2013-11-04 08:39:15 補充：
純因domain of definition of vector A ={(x,y)|x^2+y^2>1}----domain of A is exterior to the unit disc, an unbounded region.
隨意選取P(4,3), Q(3,4)二點當始點與終點來討論並挑選以下從P 至Q的路逕, path C1 to C5 all in domain of A,以備用
C1: along curve x^2+y^2=25, counterclockwise; C2: along curve x^2+y^2=25, clockwise;
2013-11-04 08:40:27 補充：
C3: line segment from P to (4,4) then to Q; C4: line segment from P to (3,3) then to Q; C5: line segment from P to (4, -5), then to (-5, -5), then to (-5,4) , then to Q.
2013-11-04 08:42:43 補充：
先觀察頭兩個路逕。實際計算 “線積分 A˙dr , over C1 “and”線積分 A˙dr , over C2” 我們發現二者之值不同。換言之在整個domain of A上, ”線積分 A˙dr” 不可能具有 “與路逕無關”的特質.上面的第3點引發尋找適當的(部分) domain D, 希望與路逕無關”能達到於D上。若能如願則D斷斷不能同時包括C1 and C2. 試畫一個 domain D1={(x,y)|4<100, x>0, y>0}. 這個D1巧妙第排除C2於外(C1,C3, C4包括在內),
2013-11-04 08:53:04 補充：
(接回答)
尤有甚者，在這個D1上，我們讓”線積分 A˙dr” 重享“與路逕無關”的特質。深究選D1成功的原因就是D1是個單連通的部分域，而原先整個domain of A失敗的原因也是因domain of A只是 multi-connected而非 simply connected, 正如sam發表於意見欄所說的。
2013-11-04 08:54:40 補充：
我等也可選 D2={(x,y)|4 0, y>0}. 效果與選D1同。瞭解此中奧妙就可以選取domain D3={(x,y)|4<100, x is different from y}, 它包含C2,C5而將C1, C3, C4先前那個族群排斥在外，在D3上吾人亦可讓”線積分 A˙dr” 重享“與路逕無關”的特質。
2013-11-04 09:03:26 補充：
D2={(x,y)|4 0,y>0}
口水太多,已無法繼續在回答欄裡發表. 但願版主已有所獲。
2013-11-04 09:16:50 補充：
更正: D3={(x,y)|4<100, x is different from y} ----->D3={(x,y)|4<100, x is different from y when x>0}; D2=first quadrant \ circle centered at (0,0) with radius2; D3={circular annulus between circles of radii2 and 10}\ray {y=x|x>0}
