有關平面線積分的問題?? 有附上參考解答

根據基本的線積分基本定理(Fundamental theorem of line integrals), 很容易得到: "線積分(over C) A‧dr" 與路逕無關 若且唯若 " 向量場(vector field)A是個定義在(open)域D上的保守場(conservative field), 當然D要包含曲線路逕C" ---水準以上的微積分教科書皆找得到.

紅色底線的前一列就是檢驗A是個保守場, 大大似乎已瞭. 由於有 ln(...) 項, 需知D的選擇必需排除 x^2+y^2<=1, the whole closed unit disc! 故紅色底線的那列應該修改成

當路逕C不包括單位圓盤點,x^2+y^2<=1,時,線積分(over C) A‧dr 與路逕無關.

有點冒犯名家的解答. 憑良心說不但邏輯有誤且中文難懂. 難為版主了.

2013-11-04 08:36:29 補充：
在畫圖之前花點工夫深入瞭解”線積分與路逕無關”的這個性質。
1. 當我們說某某線積分與路逕無關 (於domainD)時，指的是該線積分的結果只與路逕的起點與終點有關---若二路逕的兩端點一致,則二線積分的結果(常數值)也一致，至於在其他以不同端點決定的路逕上，線積分結果值是不保證相同的。但是，每個”線積分與路逕無關”的定理敘述中幾乎都沒有提到這關鍵的起點與終點，算是潛規則吧。然而要畫圖就最好先定好它們。
2. 另一個關鍵的元素domainD 的選取則有一些巧門，與給定的向量場有直接關係。定理往往也不特別詳述，也算是潛規則吧。早先我不知此題的出處，故也沒有放心思於domainD上，

2013-11-04 08:37:46 補充：
這會兒就遭到批判了。
3. 最後與大大復習一段基本微積分裡眾所周知的例子:
我們都會說 f(x)=|x|不是個”可微分函數”,因為f’(x)在 domain of f=R上並不全都存在。在發現到這其中出問題的只有一點 x=0時，我們就可以說f(x)=|x|在(受限制的) domain (-3,-1) 上是”可微的”.[想辦法躲開 x=0就成了，畢竟可微分與否只是個local的性質]

2013-11-04 08:38:35 補充：
此例子要與大大分享的是這樣的一個概念: 透過選取適當的部分(受限制的) domain(-3,-1) or some other ones like (1,10), 我們有可能成功地讓一不可微分函數重享”可微分”的這個特質。
在知識+上貼圖我不很擅長，建議由我文字敘述，版主那端自己把圖畫出。如此解決自己問題的同時，版主也有實質的貢獻。
在平面座標上標示出unit disc x^2+y^2<=1, 這是個地雷區，往後選取的 domain D, path C, or initial point P and terminal point Q皆不可碰觸之。

2013-11-04 08:39:15 補充：
純因domain of definition of vector A ={(x,y)|x^2+y^2>1}----domain of A is exterior to the unit disc, an unbounded region.
隨意選取P(4,3), Q(3,4)二點當始點與終點來討論並挑選以下從P 至Q的路逕, path C1 to C5 all in domain of A,以備用
C1: along curve x^2+y^2=25, counterclockwise; C2: along curve x^2+y^2=25, clockwise;

2013-11-04 08:40:27 補充：
C3: line segment from P to (4,4) then to Q; C4: line segment from P to (3,3) then to Q; C5: line segment from P to (4, -5), then to (-5, -5), then to (-5,4) , then to Q.

2013-11-04 08:42:43 補充：
先觀察頭兩個路逕。實際計算 “線積分 A˙dr , over C1 “and”線積分 A˙dr , over C2” 我們發現二者之值不同。換言之在整個domain of A上, ”線積分 A˙dr” 不可能具有 “與路逕無關”的特質.上面的第3點引發尋找適當的(部分) domain D, 希望與路逕無關”能達到於D上。若能如願則D斷斷不能同時包括C1 and C2. 試畫一個 domain D1={(x,y)|4<100, x>0, y>0}. 這個D1巧妙第排除C2於外(C1,C3, C4包括在內),

2013-11-04 08:53:04 補充：
(接回答)

尤有甚者，在這個D1上，我們讓”線積分 A˙dr” 重享“與路逕無關”的特質。深究選D1成功的原因就是D1是個單連通的部分域，而原先整個domain of A失敗的原因也是因domain of A只是 multi-connected而非 simply connected, 正如sam發表於意見欄所說的。

2013-11-04 08:54:40 補充：
我等也可選 D2={(x,y)|4 0, y>0}. 效果與選D1同。瞭解此中奧妙就可以選取domain D3={(x,y)|4<100, x is different from y}, 它包含C2,C5而將C1, C3, C4先前那個族群排斥在外，在D3上吾人亦可讓”線積分 A˙dr” 重享“與路逕無關”的特質。

2013-11-04 09:03:26 補充：
D2={(x,y)|4 0,y>0}

口水太多,已無法繼續在回答欄裡發表. 但願版主已有所獲。

2013-11-04 09:16:50 補充：
更正: D3={(x,y)|4<100, x is different from y} ----->D3={(x,y)|4<100, x is different from y when x>0}; D2=first quadrant \ circle centered at (0,0) with radius2; D3={circular annulus between circles of radii2 and 10}\ray {y=x|x>0}

到下面的網址看看吧

▶▶http://qaz331.pixnet.net/blog

Kreyszig 高等工程數學 (曉園 中譯本)
1983 第五版 上冊
Ch 9 Sec 9.12 與路徑無關之線積分
Page 610 定理3 (第二部分) :
若 D為單連通且
(11) dh/dy=dg/dz, df/dz=dh/dx, dg/dx=df/dy
{PARTIAL 的符號不好打,用d代替}
在D內到處成立,則積分
(10) Intgral[C由P到Q] fdx+gdy+hdz
與D內路徑無關.

2013-11-01 23:29:51 補充：
所以解答應為:
Intgral[C由P到Q] fdx+gdy+hdz
= Intgral[C由P到Q] A*dr
(*表室內積)
在任何不包含單位圓x^2 +y^2=1 的單連通開區域內(不管在圓內或圓外)與積分路徑無關.

例如D={(x,y)| x^2 +y^2<1}時,線積分(10) 與積分路徑無關.

2013-11-01 23:38:06 補充：
例如D={(x,y)|2< x^2 +y^2<3}時(環狀區域), 則線積分(10) 與積分路徑#有關#.因為此環狀區域雖然不包含單位圓x^2 +y^2=1,但不是單連通.

例如D={(x,y)| (x-10)^2 +(y-10)^2<8}時,線積分(10) 與積分路徑無關. 因為此圓區域不包含單位圓x^2 +y^2=1,且單連通.

2013-11-01 23:50:41 補充：
例如D={(x,y)| 1<(x-10)^2 +(y-10)^2<8}時,
線積分(10) 與積分路徑有關嗎?
[ANS]無關.
因為此環狀區域雖然不是單連通.
但可以包含在一個較大的,
不包含單位圓x^2 +y^2=1,且單連通的
開區域D={(x,y)| (x-10)^2 +(y-10)^2<8}內,
故與積分路徑無關.

2013-11-02 21:59:14 補充：
其實解答002的解答是有
問題的,而且此問題相當嚴重,因為忽略
了單連通之條件.
其實計算一下版主之題目,
路徑C為x^2+y^2=2由(1,0)到(1,0)一圈.
答案不為0就知道了.

一般這個題目就是用來說明單連通的重要性,
結果解答002及版主卻將重點放在
x^2+y^2<=1上,可以說是沒有捎到癢處 .

2013-11-02 22:01:08 補充：
版主沒有去看Kreyszig的書?.....????...!!!

再你一個參考資料:
http://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_vector_field#Path_independence
…In fact, an irrotational vector field is necessarily conservative provided that a certain condition on the geometry of the domain holds: it must be simply connected.

2013-11-02 22:02:16 補充：
或
http://zh.wikipedia.org/wiki/保守向量场
…只要 是單連通區域，它的逆命題也是成立的：每一個無旋向量場也都是保守向量場。
如果 不是單連通的，則逆命題不成立。

2013-11-04 17:21:49 補充：
良心的建議:
拿一本向量分析的書,完整的看一看有關
保守場,與路徑無關之線積分,璇度零之場
等相關之定理(包括定理之證明,因為只有在證明中
可以看到定理成立之條件的重要性).

一般的工數課本都有Green定理:∫A.dr=∫(A1,A2).(dx,dy)=∫A1*dx+∫A2*dy=∫∫(∂A2/∂x-∂A1/∂y)dxdy.....Green定理=∫∫{2xy/(x^2+y^2-1)-2xy/(x^2+y^2-1)}dxdy=∫∫0*dxdy=0所以原式與路程無關!!