中國&西方對於畢氏定理發展的歷史

畢氏定理是初等幾何中的一個基本定理。這個 定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所 研究。 希臘著名數學家畢達哥拉斯曾對本定理有所研究，故西方國家均 稱此定理為畢達哥拉斯定理，畢氏定理又稱「商高定理」、「陳子定理」、「勾股定理」。

在中國文獻中，最早是在一本名為周髀算經古書上記載著畢氏定理的存在。在國內也曾有人展開關於這個定理命名問題的討論。 有人主張叫做「商高定理」，理由是中國在商高時代（約公元前 1100 年）已經知道「勾三股四弦五」的關係，並且早於畢達哥拉斯時代。也有人認為商高發現三角形邊長 3：4：5能構成直角三角形，僅僅是特例，到陳子才提出了一般化的定理，故應稱為「陳子定理」。後來決定不用 人名而稱為「勾股弦定理」，最後確定叫「勾股定理」，因為有勾股就必有弦，故弦字可以省略。

周髀算經基本上是一部探討天文學的著作，在其中也提及一些在數學上的發現。這部書是用對話的形式寫成的。以下簡單列出在周髀算經中談到關於畢氏定理之文獻記載：
（一）關於商高的文獻記載
在書中記載約公元前1100 年西周時，周公和商高的一段對話「折矩以為勾廣三、股修四、徑隅 五。」意思就是把一跟直尺折成一個直角，如果短的一段（稱為「勾」）是3，較長的一段（稱 為「股」）是4，那麼尺的兩端距離（直角三角形的斜邊----「弦」）便是5。

（二）關於陳子的文獻記載
此對話雖已清楚指出勾三、股四、弦五的關係，但是否已掌握普遍的勾股定理，尚未有足夠的證據來確定。而知道普遍的勾股定理，可算是陳子（約公元前六、七世紀）了。在周髀算經上寫道陳子測日的方法：「若求邪（同斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開 方除之，得邪至日……十萬里」其中「勾股各自乘，并而開方除之」的意思指的就是直角三角形存在著三邊關係：若用現在的符號，分別用a、b、c記勾、股、弦之長，即 2ab+(a-b)2=c2， 化簡之得c2=a2+b2。


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD01791932/o/20131030083647.jpg


「普林頓 322 號之謎」
一塊編號為「普林頓 322」的巴比倫泥板，它印有一組組完整的三列數字，像 (3, 4, 5) 等。起初學者以為這是古時的賬目表。後來經過伊格鮑爾 （Otto Neugebauer）及薩克斯（A. Sachs）的研究，謎團才在 1945 年解開。原來這一串數字是勾股數（一組能作為直角三角形的邊長的正整數稱為「勾股數」）。「普林頓 322」涉及的勾股數十分巨大，若巴比倫人不熟識勾股定及勾股數的參數表，根本無法靠巧合而湊出這些數字來。巴比倫人在公元前二千年已有這極出色的成就，實在令人驚嘆！

在西方有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“ 百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例。除上述兩個例子外，據說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑。

在幾何原本中記載著歐幾里得(B.C.300 年)的證法，後人認為歐幾里得是第一個證明此定理的人；下圖是歐幾里得所畫的圖也從此名聞遐邇，更由於它與風車相像，因此俗稱為「風車」。


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