symmetric form

1. (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)
==> xy + yz + zx = (a² - b)/2
(x + y + z)(x² + y² + z²) - (x³ + y³ + z³) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - 3xyz
==> ab - c = a(a² - b)/2 - 3xyz
==> xyz = (a^3 + 2c - 3ab)/6

2,
a = x + y + z + t
b = x² + y² + z² + t²
c = x³ + y³ + z³ + t³
d = x⁴ + y⁴ + z⁴ + t⁴
Let
P2 = xy + xz + xt + yz + yt + zt
P3 = xyz + yzt + ztx + txy
P4 = xyzt
S2 = (xy)² + (xz)² + (xt)² + (yz)² + (yt)² + (zt)²
Therefore
a² = b + 2(P2)
==> P2 = (a² - b)/2
b² = d + 2(S2)
==> S2 = (b² - d)/2
ab - c = a(P2) - 3(P3)
==> P3 = (a^3 + 2c - 3ab)/6
ac - d = b(P2) - a(P3) + 4(P4)
==> ac - d = b(a² - b)/2 - a(a³ + 2c - 3ab)/6 + 4(P4)
==> P4 = (a⁴ + 8ac + 3b² - 6a²b - 6d)/24

☂雨後晴空☀ ( 知識長 )真好人，幫人不辭勞苦啊！讚！

What's wrong, 雨後晴空 ?

2013-10-24 07:55:22 補充：
So sorry, 這麼麻煩你.
Yahoo有被停權呢事?

1)

(x + y + z)² - (x² + y² + z²) = a² - b
2(xy + yz + zx) = a² - b

x³ + y³ + z³ - 3xyz
= (x + y)(x² - xy + y²) + z³ - 3xyz
= (x + y) ( (x + y)² - 3xy ) + z³ - 3xyz
= (x + y)³ + z³ - 3xy(x + y) - 3xyz
= (x + y + z) (x² + 2xy + y² - xz - yz + z²) - 3xy(x + y + z)

2013-10-23 21:24:43 補充：
= (x + y + z) (x² + y² + z² - xy - yz - zx)

⇒
c - 3xyz = a ( b - (a² - b)/2 )
2c - 6xyz = 2ab - a³ + ab
xyz = (a³ + 2c - 3ab) / 6

2013-10-23 21:48:19 補充：
2)
x , y , z , t are 4 roots of the equation
v⁴- (x + y + z + t)v³ + (xy + xz + xt + yz + yt + zt)v² - (xyz + xyt + xzt + yzt)v + xyzt = 0

(x + y + z + t)² = a²
x² + y² + z² + t² + 2(xy + xz + xt + yz + yt + zt) = a²
b + 2(xy + xz + xt + yz + yt + zt) = a²
xy + xz + xt + yz + yt + zt = (a² - b)/2

2013-10-23 21:59:51 補充：
Putting v = x , y , z , t respectively , and then summing up :

x⁴ + y⁴ + z⁴ + t⁴
= a(x³ +y³ +z³ +t³) - (a² - b)/2 (x² +y² +z² +t²) + (xyz + xyt + xzt + yzt)(x + y + z + t) - 4xyzt

⇒
d = ac - (a² - b)b/2 + (xyz + xyt + xzt + yzt)a - 4xyzt ... (1)

or

2013-10-23 22:01:04 補充：
x³ + y³ + z³ + t³
= a(x² +y² +z² +t²) - (a² - b)/2 (x +y +z +t) + 4(xyz + xyt + xzt + yzt) - (xyzt/x + xyzt/y + xyzt/z + xyzt/t)
⇒
c = ab - (a² - b)a/2 + 3(xyz + xyt + xzt + yzt) ... (2)


By (2) :
2c = 2ab - a³ + ab + 6(xyz + xyt + xzt + yzt)
xyz + xyt + xzt + yzt = (a³ + 2c - 3ab) / 6

2013-10-23 22:01:21 補充：
(2)*a - (1)*3 :
ac - 3d = a²b - (a² - b)a²/2 - 3ac + 3(a² - b)b/2 + 12xyzt
12xyzt = 4ac - 3d - a²b + (a² - 3b)(a² - b)/2
24xyzt = 8ac - 6d - 2a²b + a⁴- 4ba² + 3b²
xyzt = (a⁴ + 3b² + 8ac - 6d - 6ba²) / 24

2013-10-23 23:30:39 補充：
可能我回答中有某些字眼觸犯了 Yahoo知識+ 的刪除機制,被無理移除,扣50點。
之後我打算發表文章供參考算了, 豈料唔夠半分鐘再被移除! 再扣50點!
心有不甘唯有發意見,發現第二題其中一段意見被扣50點。
於是把第二題的斷片全部刪除(扣了幾點),重試一次,結果歷史重演,又無50點~
只好無奈地再刪除斷片(再扣幾點),重寫有問題的那部分意見,終能暢所欲言,
功德圓滿。

2013-10-23 23:43:23 補充：
乾燥貓,你驚唔驚收到夠多違規通知信後會被停權?
過去的回憶及努力也會化為烏有...

Enlightened by that last night?

2013-10-23 23:34:19 補充：
係呀，我都試過～

因為無keep住check email~
所以第一次被刪都未知咩事，只係知道無野post出黎～
跟住諗住係意見打番～
佢繼續刪～　但我都未知～　只係見無野出～
繼續post，咁會被佢不斷刪和扣點～

都唔知咩內容觸動左個系統～

2013-10-24 00:27:19 補充：
唉～
我最近都同你的部隊成員傾過偈～

似乎呢度已經無左管理員～
好似只係等大家自生自滅～
「鍾意黎就黎，唔鍾意玩咪走囉～」
似乎我地感受到的就係咁～

其實我都仲想跟進一下，究竟而家仲有無停權呢回事？

事實上我岩岩都出現左一ｄ問題～
或者如果我真係係呢度得罪左ｄ人既，咁走開下都好既～
不過今次就唔會好似上次咁走五六年咁耐ｇａ啦～

2013-10-24 14:06:02 補充：
師姐請放心，我頗有信心 雨後前輩 同埋 我 都唔會被停權～

我地都唔係亂答題的人，即使係得罪左人（我指我），最多都係被人不斷檢舉，如果真係有管理員的話，佢會見到我被檢舉係無理的，反而會救我。而家正正代表無管理員，既然係咁，就應該無停權呢樣野～

當然以上只屬猜測推想，以大家數學人來說邏輯性的確有限～
但只好這樣想，想得太多也沒用～ ^__^

師姐妳放心，大家都是認真對數學有興趣的人，被人戲弄也不應影響大家對數學的態度。

BTW，見到妳打中文真的很高興，很少見～
保重～　我解決私事，稍後才回來～