問一個數學統計上的相關問題

定義:Zi=(Xi-μ)/σ

標準化即是把資料圖形改為以平均數為原點(0,0)

以標準差為單位,藉以比較單筆資料在母群體的離散情形.

所以標準計分的平均=0,標準差=1

2013-10-22 21:40:29 補充：
Zi=(Xi-μ)/σ

當Xi=μ時,Zi＝0，也就是μ在標準常態分配下的Z分數等於0。

在標準常態分配中σ=1,而一個原來分數等於原來的μ加上一個σ時，

經由上式公式轉換，即成Zi＝1，即Xi＝μ＋1σ時，Zi=[(μ＋1σ)-μ]/σ

2013-10-22 21:52:30 補充：
似乎沒有特定的推導過程,大多都是以標準化的定義來說明這個性質.

以下資料給你參考,應該可以幫助到你.

如果還有問題的話請再提問吧.

2013-10-25 18:43:09 補充：
謝謝 老怪物 大師的講解.

將資料平移後,標準差並不會改變.

但將資料皆乘以一常數,標準差就會改變.

標準化: Xi-μ →資料的平均數變為0,但標準差不變

(Xi-μ)/σ →資料平均數μ'/σ=0/σ=0,標準差σ/σ=1

所以Zi的平均=0,標準差=1.

只是 "平均數" 與 "標準差" 的問題, 沒必要弄到那麼難吧?


群體平均數公式: μ = E[X], 有限資料計算公式: ΣXi/N

群體標準差的公式: √E[(X-μ)^2],
　有限資料計算公式 √{Σ(Xi-μ)^2/N} 或 √{Σ(Xi-μ)^2/(N-1)} .

資料平移: Y = X - A, 則
平均數變成 E[X-A] = E[X] - A = μ-A, 做相同的平移.
因此, 標準差不會變.

資料的尺度變化(計量單位變化) Y = kX, 則
平均數 E[kX] = k E[X], 做相同的變化. 因此,
...

2013-10-25 14:56:02 補充：
資料的尺度變化(計量單位變化) Y = kX, 則
平均數 E[kX] = k E[X], 做相同的變化. 因此,
計算標準差時 (X-μ) 變成 (kX-kμ) = k(X-μ), 平方、加總、又開平方根,
結果 √E[(Y-kμ)^2] = √E[(kX-kμ)^2] = k √E[(X-μ)^2], 標準差和資料做
相同的尺度變化.


標準化分數是

(1) 先減去平均數, 所以: 平均數變成 0, 標準差不變.

(2) 再除以標準差, 所以: 平均數維持 0, 標準差除以標準差變成 1.

這個證明,一般數理統計的書都找得到,翻一下書吧

2013-10-23 13:04:05 補充：


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC09299269/o/20131023130215.jpg


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC09299269/o/20131023130253.jpg

以上資料是敝人塵封多年的筆記

2013-10-23 19:46:19 補充：
以上筆記,是其中一種證明方法.
另一種方法,可利用moment-generating function來證明.

2013-10-26 12:29:42 補充：
標準化是針對常態分配作標準化,而常態分配是連續隨機變數,不是離散型,
所以只能從機率密度函數(p.d.f , 就是筆記的density)
或moment-generating function來證明.

用離散型的計算只能當做說明,不能當作證明