統計學(最大概度和順序統計)

以下我考慮一般大小為 n 的樣本. 本例是 n=4.


(a)
為了寫 likelihood 的方便, 需要用到 indicator function.

Xi 的 p.d.f. 用 indicator function 來寫, 變成
　f1(x;θ) = [1/(-θ)]I_[θ,0](x)
故樣本 X1,X2,...,Xn 的聯合 p.d.f. 成為
　f(x_1,x_2,...,x_n;θ) = [1/(-θ)^n]I_[θ,0](y_1)Π_{i=1 to n}I_[y_1,0](x_i)
其中 y_1 = min{x_1,x_2,...,x_n}.

改成 likelihood function, θ 成為(主要)變數, 因此 I_[θ,0](y_1) 變成
I_(-∞,y_1](θ). 前者是 θ≦y_1≦0 時才是 1, 其他為 0; 後者在 y_1 給
定之下, θ≦y_1 才是 1, 其他情形為 0. 即
　L(θ;x_1,x_2,...,x_n) = [1/(-θ)^n]I_(-∞,y_1](θ)×(與 θ 無關的項)

在 θ≦y_1 的範圍內, -θ 愈大則 likelihood 愈小, 因此 -θ 應儘量小,
也就是 θ 儘量大, 以便提高 L(θ) 的值. 但 θ 超過 y_1 時 likelihood
變成 0. 因此, 使 L(θ) 最大化的 θ 值是 y_1, 用符號表示:
　arg max L(θ) = y_1
即: θ 的 MLE 是 Y1 = min{X1,X2,...,Xn}.



(b)
P[Y1>y] = P[X1>y,X2>y,...,Xn>y] = (P[X1>y])^n

P[X1>y] = 1 　 if y < θ;
　　　　= y/θ 　if θ≦ y ≦ 0;
　　　　= 0　　if y>0.
所以,
P[Y1>y] = 1　　　 if y < θ;
　　　　= (y/θ)^n　if θ≦ y ≦ 0;
　　　　= 0　 　　if y>0.
故 Y1 之 p.d.f. 為:
h(y1) = [n/(-θ)](y/θ)^{n-1}, 當 θ≦ y ≦ 0;
　　　= 0,　 　　　　　 其他處.

2013-10-19 08:21:35 補充：
你沒說我還沒注意, 先前似乎是2級吧, 現在變1級.
不過, 對這個等級我其實很不以為然. 以前我用的
自訂圖示是抓 "知識貧民" 的圖改的, 後來不知怎
的顯示不出來了, 就算了.

每次見到 老怪物 ( 大師 1 級 ) 我都很高興~

這幾天我們那邊都多了同學問概率題~

^__^

周末愉快~

☆ヾ(◕‿◕)ノ

也恭喜升級了~