高一龍騰文化數學問題(急)

由題目可知 商為1次式

餘式定理

1.f(x)=(x^2+x+2)(ax+b)+(x+2)

2.f(x)=(x^2+x-2)(cx+d)+(5x-2) (x^2+x-2) -> (x+2)(x-1)


利用2. 得到f(1)=0+(5-2)=3 f(-2)=0+(-10-2)=-12

帶回1 得到 a=1 b=-1


利用1 f(x)=(x^2+x+2)(x-1)+(x+2)=x^3+2x

設三次多項式f(x)除以x^2+x+2的餘式為x+2；除以x^2+x－2的餘式為5x－2，求f(x)
Sol
x^2+x－2=(x－1)(x+2)
設f(x)=a(x^2+x+2)(x－1)+b(x^2+x+2)+x+2
f(1)=b(1+1+2)+1+2=5－2
b=0
f(x)=a(x^2+x+2)(x－1)+x+2
f(－2)=a(4－2+2)*(－3)－2+2=5*(－2)－2
a=1
f(x)=(x^2+x+2)(x－1)+x+2
=(x^3+x－2)+x+2
=x^3+2x

f(x)=(x^2+x-2)Q1(x)+(5x-2)=(x+2)(x-1)Q1(x)+(5x-2)
==> f(1)=5*1-2=3, f(-2)=5*(-2)-2=-12

設f(x)=k(x-a)(x^2+x+2)+(x+2)，其中k≠0
f(1)=k(1-a)(1+1+2)+(1+2)=3
=>k(1-a)=0==>a=1
f(-2)=k(-2-a)(4-2+2)+(-2+2)=-12
=>4k(-2-a)=-12 ==> k=1

f(x)=1(x-1)(x^2+x+2)+(x+2)
==> f(x) =x^3 +2x

2013-10-17 00:01:19 補充：
設f(x)=(x^2+x-2)Q(X)+(5x-2) =(x-1)(x+2)Q(X)+(5x-2)
f(1)=3，(-2)=-12

f(x)=(cx+d)(x^2+x+2)+(x+2)
f(1)=3=(c+d)(1+1+2)+(1+2)
=>4(c+d)=0==> c+d=0 -----(1)

f(-2)=-12=(-2c+d)(4-2+2)+(-2+2)
=>-2c+d=-3 -----(2)

解(1)(2)=>c=1，d=-1
f(x)=(cx+d)(x^2+x+2)+(x+2)
=(x-1)(x^2+x+2)+(x+2)
=x^3+2x

2013-10-17 00:03:31 補充：
002做法與答案啦大大 ( 初學者 5 級 ) 相同
答案啦大大的做法~讚