求任意函數之「垂直漸近線」及含有漸近線的圖形

依據微積分的定義：

※垂直漸近線(Vertical asymptote)：

(1)若lim_{x→a} y(x) = ∞ ，則x=a為y(x)之垂直漸近線。

(2)若lim_{x→b} y(x) = -∞ ，則x=b為y(x)之垂直漸近線。

<例>

y=1/[(x-3)(x+1)]

由lim_{x→3} 1/[(x-3)(x+1)] = ±∞ 知 x=3 為一垂直漸近線，

由lim_{x→-1} 1/[(x-3)(x+1)] = ±∞ 知 x=-1 亦為一垂直漸近線，

故此函數之垂直漸近線共有2條，分別為 x=3 及 x=-1。

至於該如何判斷此函數的x值該趨向於多少其極限值才會等於±∞，一般而言只要判斷該函數的分式為零的x之解為何，其極限值大概都會等於±∞，至於您說的指數真數為0的解、反正切值為±∞之解…等都可以進一步將其化為分式再求其分式為零的x之解為何即可求出。

可以擴充至 "方程式".

For the graph of the equation F(x,y) = 0,
水平漸近線: lim_{x→±∞} y = ?
垂直漸近線: lim_{y→±∞} x = ?

例:

方程式 1/x + 1/y = 1

lim_{x→±∞} y = 1, 水平漸近線 y = 1;
lim_{y→±∞} x = 1, 垂直漸近線 x = 1.

2013-10-13 23:21:02 補充：
再例: 雙曲線 xy = 1:

lim_{x→±∞} y = lim_{x→±∞} 1/x = 0, 水平漸近線 y = 0;
lim_{y→±∞} x = lim_{y→±∞} 1/y = 0, 垂直漸近線 x = 0.

f(x) = ∞ 之解
f(x)= -∞ 之解

任意函數…這也太難了吧

如果是多項式函數或者有理函數可能還比較好討論。