求函數值域唔明

我最喜歡就是你這種同學，不是只拋出一個問題讓人家做，而是列出自己已經做好的步驟求學習解釋和原因。

先講一個相關的知識讓你明白。
考慮 f(x) = x²，
如果 2 < x < 5，那麼 4 < f(x) < 25，相信你明白。
如果 -6 < x < -3，那麼 9 < f(x) < 36，相信你也明白。
如果 -1 < x < 4，那麼 0 ≤ f(x) < 16，你可以明白嗎？
〔你留意到，不是 1 < f(x) < 16 嗎？　重點就是這裏！〕
我一般教導學生用圖去想這個問題。
看以下的圖配合以上三個情況。
〔曲線的最高和最低點代表平方後的最大、最小值。〕


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA00430218/o/20131005234013.jpg


現在回到你的問題：

k(x) = 2x² - x + 1, -1 < x ≤ 1

做到2(x-1/4)² + (7/8)　＜－－　〔數式◎〕

因為 -1 < x ≤ 1, -1-(1/4) < x-1/4 ≤ 1-(1/4) <========點解要-1/4
〔把x的極值代入〔數式◎〕當中。〕

(-5/4)² < (x-1/4)² ≤ (3/4)² <=======點解要平方佢地？
〔想慢慢演變出2(x-1/4)² + (7/8)。〕

0 ≤ (x-1/4)² < 25/16 <========呢度最唔明點解變左0同轉左符號
〔這裏正正是最多同學困擾的地方。〕
〔原因就是以上所說，如果你兩邊是一正一負，那其實平方可以達到０。〕
〔一個平方的最少必然是０，所以平方前有可能達到０，那麼平方後的最小值就是０。〕
〔另外，平方的極大值，要視乎平方前的極大和極小值。〕
〔不一定是最大配最大，舉例說 -9 < x < 5，那麼明顯地會變成 0 ≤ x² < 81，試想圖會易明一點。〕

0 ≤ 2(x-1/4)² < 25/8

7/8 ≤ 2(x-1/4)² + 7/8 < 4

所以 k((-1,1]) = [7/8,4)

2013-10-06 00:48:33 補充：
(-5/4)^2<(x-(1/4))^2<=(3/4)^2　＜－－　這句最好不要寫，避免誤會。

應該寫：

-5/4 < x-1/4 ≤ 3/4

所以 0 ≤ (x-1/4)² < (-5/4)²

〔這裏選用 -5/4 而不選用 3/4 是因為 -5/4 有更大的絕對值。〕
〔或簡單一點說， -5/4 比 3/4 更遠離 0 ，所以平方後更大。〕


你用聯集的方法思考也可以，是正確的！


「但是好像一負，一正才要這樣做?」
正確！重點是：是否通過０。

2013-10-06 00:48:47 補充：
「好像是平方一個負數才寫成0<=開頭的？？，然後最大的擺頭。。。。。。」
重點是，平方前的範圍如果有０，則平方後可達０，所以有 0 <=
至於極大值，要視乎平方之前的兩邊哪一方的絕對值較大。

例如： -1 < x < 3　變　0 <= x < 9
例如： -8 < x < 2　變　0 <= x < 64


「看了圖也不太明」
請嘗試看明白，看曲線部份可達的最高點和最低點。　＜－－　留意這句說話

2013-10-06 15:02:08 補充：
大家客氣了～
加油呀！

=^o^=

Masterijk :

向你的高強功力和耐心講解致敬。