等差等比求和(4題)

5.已知一個等差數列的首9項之和是90，而第11項是14，求數列的
(a)公差
S9=(a1+a9)*9/2=(2a1+8d)*9/2=9a1+36d=90
a1+4d=10
a11=a1+10d=14
6d=4
d=2/3
(b)首50項之和
a1=10－4d=10－8/3=22/3
a50=a1+49d=22/3+98/3=40
S50=(a1+a50)*50/2=(22/3+40)*50/2=3550/3

6.
(a)求在1和50之間(包括1和50)所有整數之和
(1+50)*50/2=1275
(b)利用從(a)所得的結果,求在1和100之間(包括1和100)所有偶數之和
2+4+6+…+100=2*(1+2+3+…+50)=2*1275=2550

11.卓穎欲求出等比級數9+3+1 ... 的無限項之和,但她只把該級數的首5項加
起來作答案。求
(a)卓穎答案的絕對誤差;
9+3+1+1/3+1/9=(81+27+9+3+1)9=121/9
S=9/(1－1/3)=13.5
13.5－121/9=27/2－121/9=(243－242)/18=1/18
(b)卓穎答案的百分誤差。(答案須準確至三位有效數字)
(1/18)/13.5*100%=0.412%

12.考慮以下兩個等比數列的通項:
T1(n)=(－1/3)^n 及 T2n=－(1/3)^n
(a)求該兩個數列首3項之和
T1(1)+T1(2)+T1(3)=(－1/3)^1+(－1/3)^2+(－1/3)^3=(－9+3－1)/27=－7/27
T2(1)+T2(2)+T2(3)=－(1/3)－(1/9)－(1/27)=－13/27
(b)求該兩個數列的無限項之和
T1：(－1/3)/[1－(－1/3)]=(－1/3)/(4/3)=－1/4
T2：(－1/3)/(1－1/3)=(－1/3)/(2/3)=－1/2

5. 首9項之和是90

S = [2a+(n-1)d]n/2

90 = [2a+8d]9/2

180 = (2a + 8d)9

20 = 2a + 8d

10 = a + 4d (h)

第11項是14

a11 = a + (n-1)d

14 = a + 10d (k)

(k) - (h)

4 = 6d

d = 4/6 = 2/3

b) Since d = 2/3; sub into (h); 10 = a + 4(2/3); a = 10 - 8/3 = 22/3 or 7.XX

S = sub into formula youeself

2013-10-04 14:25:16 補充：
6.

(a)求在1和50之間(包括1和50)所有整數之和

S = 1+2+3+.......+50

a = 1
d = 1
n = 50

代入公式便成了，

S = [2a+(n-1)d]n/2

2013-10-04 14:27:01 補充：
6. (b)利用從(a)所得的結果,求在1和100之間(包括1和100)所有偶數之和

S = 2 + 4 + 6 + 8 ...... + 100

你看一看便會發現這是 a) 的 2 倍。

2013-10-04 14:35:21 補充：
11.卓穎欲求出等比級數9+3+1 ... 的無限項之和,但她只把該級數的首5項加起來作答案。求

(a)卓穎答案的絕對誤差;

(b)卓穎答案的百分誤差。(答案須準確至三位有效數字)

a = 9
r = 1/3

S(5) = 9+3+1+(1/3) + (1/9) = 13.444444

無限項之和 = Sn=(a(1-r^n))/(1-r) = 27/2 = 13.5

絕對誤差 = 13.4444444 = 13.5 = -0.0555555

百分誤差 = (-0.0555555/13.5)X100 = -0.41%

2013-10-04 14:38:55 補充：
12.考慮以下兩個等比數列的通項:
T1(n)=[-1/3]^n 及 T2n=-[1/3]^n

(a)求該兩個數列首3項之和
(b)求該兩個數列的無限項之和。

T1 = [-1/3]^n

當n = 1; T1(1) = -1/3
當n = 2; T1(2) = 1/9
當n = 1; T1(3) = -1/27

加起它們吧！

T2n=-[1/3]^n

當n = 1; T2(1) = -1/3
當n = 2; T2(2) = -1/9
當n = 1; T2(3) = -1/27

加起它們吧！

2013-10-04 14:41:08 補充：
T1 = [-1/3]^n

a = -1/3; r = (-1/3) ; n = 無限大; 代入公式啦！

T2n=-[1/3]^n

a = -1/3; r = (+1/3) ; n = 無限大; 代入公式啦！

2013-10-04 17:46:44 補充：
Sorry 11b) 忘記了 3 位有效數字。應該是 -0.412%