有關【指數律】的問題

例題1
25^13 = 25*25* ..... * 25 (13個25自乘) = 1490116119384765625
Ans: 1490116119384765625

現在是資訊時代,有很多工具可完成此計算,不會有老師叫學生用筆算這麼冗長又沒有意義的計算,如果有,你可以向相關單位抗議!!
以下提供其中兩種用工具計算的方法:
(1)工程計算機: 25^13= (這樣就算出來了,但計算機的有效位數比較少,只有近似值)
(2)微軟作業系統中的"小算盤",然後在"檢視"功能表選"工程型","十進位".
接著按 25 x^y 13 = (這樣就算出來了)

例題2
設 15^20 = a^x * e^y
a通常表未知常數,所以這裡有兩個變數x,y,但卻只有一個等式,所以無解,只有關係式,就是原式.
就算再增加另一個等式,也無整數解,因為e是無理數.

例題3
解法(1): 用計算機
12^10=61917364224 , 13^9=10604499373 , 14^6=7529536
Ans: 12^10 > 13^9 > 14^6

解法(2): 若手邊無計算工具,僅有對數表
log12^10 = 10log12 = 10log3+10log4 = 10log3+20log2
13^9 , 14^6 也仿此取對數再簡化,最後查對數表,再計算,就可比較
註: f(x)=logx 是(遞增)且(1對1)函數. 若logx1>logx2,則x1>x2. 所以取對數直接比大小OK

例題4
設20^13=3^x
等式兩邊取對數亦成立
故 13log20=xlog3
x = 13log20 / log3 ≒ 35.4488293621909
Ans: 35.4488293621909 (近似值)

2013-10-05 12:28:30 補充：
補充說明你後來列出的題目:

10^4 = (2*5)^4 = 2^4 * 5^4
100^3 = (10^2)^3 = 10^6 = (2*5)^6 = 2^6 * 5^6
1000^4 = (10^3)^4 = 10^12 = (2*5)^12 = 2^12 * 5^12
所以 10^4 * 100^3 * 1000^4
= (2^4 * 5^4)(2^6 * 5^6)(2^12 * 5^12)
= 2^(4+6+12) * 5^(4+6+12)
= 2^22 * 5^22
= 2^b * 5^c
故b=c=22
Ans: b=c=22

2013-10-05 12:28:36 補充：
負的5的-3次方和(-5)的3次方
- 5^(-3) = - 1/(5^3) = -1/125 = -0.008
(-5)^3 = (-5)(-5)(-5) = - 5*5*5 = -125
因為 -0.008 > -125
所以- 5^(-3) > (-5)^3
Ans: - 5^(-3) > (-5)^3

2013-10-05 12:31:20 補充：
這些計算只有用到指數的基本公式,而且這些公式你的課本一定有,請再翻翻看吧.

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叆參匿十卫厗

25^13 = 5^26 = 10^26/2^26 = 10^26/(1024*1024*64)

5^26 = (5^6)^4*5^2 = 15625^4*25

計算方法是沒有唯一解的, 主要看你的習慣.

小朋友,這些問題是你自己想的嗎?
有些題目不可能這樣出,
就像你說的,例題1要算出25的13次方的值,
就一直乘而已,也沒什麼特別方便的方法,這樣有什麼意義,
我用電腦小算盤算,它有30位都還不夠用,
這種題目不可能叫你算出他的值,頂多是寫成5的多少次方,
例題2和例題3也是稍有問題,但問題比較小,
例題4問題較大,
例題4要用到高中的對數函數,國中沒辦法算.