急急急~~一道有關梅森質數與偶完全數的問題~~

任何偶完全數 n 為且必為 2ᵖ⁻¹ (2ᵖ - 1) 的形式 , 其中 2ᵖ - 1 為質數。證明 :n = 2ᵖ⁻¹ (2ᵖ - 1) ,
其因子和
= (2ᵖ⁻¹ 因子和) (2ᵖ - 1 因子和)
= (1 + 2 + 4 + ... + 2ᵖ⁻¹) (1 + 2ᵖ - 1)
= (2ᵖ - 1) 2(2ᵖ⁻¹)
= 2n
故 2ᵖ⁻¹ (2ᵖ - 1) 為偶完全數。反之, 注意 2ᵐ 因子和 = 2ᵐ⁺¹ - 1 ≠ 2 * 2ᵐ , 故可令 n = 2ᵐ⁻¹ k , 其中 k 為奇數。
偶完全數 n 因子和 = 2n = 2ᵐ k , 又 n 因子和 = (2ᵐ⁻¹ 因子和) (k 因子和) ,
故 2ᵐ k = (2ᵐ⁻¹ 因子和) (k 因子和)
⇒ 2ᵐ k = (2ᵐ - 1) (k 因子和)
∴ k 因子和 = 2ᵐ k / (2ᵐ - 1) = k + k/(2ᵐ - 1) 上式意味 k/(2ᵐ - 1) = 1 , 從而 k = 2ᵐ - 1 為質數。
所以存在形如 k = 2ᵐ - 1 的質數使 n = 2ᵐ⁻¹ ( 2ᵐ - 1) , 證畢。

2013-10-06 05:15:47 補充：
2ᵐ 因子和 ≠ 2 * 2ᵐ , 即是說 2ᵐ 並非完全數,
換言之偶完全數 n 至少有一個奇數因子k >1 , 否則 n = 2 * 2 * .... * 2 為 2ᵐ 型。

順便說一下, 2ᵖ - 1 型之質數稱為梅森質數,由本題結論可見每個梅森質數都對應
一個偶完全數。另外,當 2ᵖ - 1 為質數時 , p亦必為質數。