取出放回及不放回的機率

不放回：
1至30號取出15個數，15個數當中含1、2、3的機率為多少？


[R]

不很明白題意.

若是 1,2,3 全在, 其機率是:
C(1,1)C(1,1)C(1,1)C(27,12)/C(30,15)

若是 1,2,3 至少有一在, 其機率是
1 - C(27,15)/C(30,15).

[/R]



放回：
1至100號取數300次，能同時取到1、2、3、4、5的機率為多少？


[R]
P{1,2,3,4,5 全在} = 1 - P{1,2,3,4,5 至少有一不在}.

P{1不在} = P{2不在} = ... = P{5不在} = (1-1/100)^300
P{1,2皆不在} = ... = P{4,5皆不在} = (1-2/100)^300
:
:
P{1,2,3,4,5皆不在} = (1-5/100)^300


由取捨原理,

P{1,2,3,4,5全在} = 1-C(5,1)(0.99)^300+C(5,2)(0.98)^300-...
-C(5,5)(0.95)^300.

[/R]

2013-10-02 03:59:21 補充：
C(1,1)C(1,1)C(1,1)C(27,12)/C(30,15)這個式子不太明白，可解釋嗎？


分子: 從 {1} 取一個, 從 {2} 取一個, 從 {3} 取一個, 從 {4,5,...,30} 取12個.
分母: 從 {1,2,....,30} 取 15個.




P{1,2,3,4,5全在}
= 1 - C(5,1)(0.99)^300 + C(5,2)(0.98)^300 - C(5,3)(0.97)^300
　　+ C(5,4)(0.96)^300 - C(5,5)(0.95)^300.
用 Excel 算出結果是 0.77707

2013-10-02 14:01:29 補充：
Note:
P{1,2,3,4,5全在} ≠ P{1在}．P{2在}．…．P{5在}, 因這5個事件並非相互獨立.

只看 {1在} 及 {2在} 兩事件即可. 若 1 不在, 則抽300次, 有 300 個機會抽到 2.
若已知 1 被抽中 K 次, 則僅剩 300-K 次機會抽到 2.


所以此題正確機率需應用取捨原理.


取捨原理, 以3個事件為例:
P{A∪B∪C} = P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(BC)+P(AC))+P(ABC)
式中省略 ∩ 符號.

2013-10-02 17:16:55 補充：
取捨原理, 以4個事件為例:
P(A∪B∪C∪D) = [P(A)+P(B)+P(C)+P(D)]
　　　　　　　　 - [P(AB)+P(AC)+P(AD)+P(BC)+P(BD)+P(CD)]
　　　　　　　　 + [P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD)]
　　　　　　　　 - P(ABCD)

注意以上兩個例子的規則性.

第1題
不含1、2、3的機率 = 27C15 / 30C15
含1、2、3的機率 = 1 - 27C15 / 30C15 = 0.888

第2題
沒有取到1、2、3、4、5的機率 = 95^300 / 100^300
有取到1、2、3、4、5的機率 = 1 - 95^300 / 100^300 = 1 - 0.95^300 = 0.999999792

Ans:
第1題 0.888
第2題 0.999999792

大大安安，敝人還沒學過機率，敝人提供一些想法　：　

１）

全部共C(30,15)種

題目說含1,2,3. 那麼我們先拿掉 再取１２個數就好囉

共 : C(27,12)種

所以答案是 : C(27,12)/C(30,15)

希望不會有錯.