複數為什麼不能比較大小

從高斯平面,以X軸是實數,Y軸是虛數,如2+i和1+i , 因是兩個座標所以一定不能比大小,除非加上絕對值視為長度.實數軸以外的複數都是複數平面上的一個點 ,所以當然不能比較大小．（因點沒有大小之分 ．）


2013-10-01 14:54:46 補充：
阿明大大你好

你的做法不錯值得版主參考

Hi，響古，好久不見啦!

2013-10-01 11:22:10 補充：
i 跟0不能比較大小這你應該知道，
那我們看看1 + i 跟i 能不能比較大小。

∵1 > 0，∴1 + i > 0 + i = i 對不對?

我們把它平方試試看 :
(1 + i) ^ 2 = 2 i
i ^ 2 = - 1

可是2 i 跟- 1不能比較大小，
所以原來的兩個數也不能比較大小。

2013-10-01 11:23:56 補充：
亂碼是數學的符號 " 因為 "

事實上複數不是不能 "比大小", 如果 "比大小" 是要定出某些順序的
話, 還是可以比的; 而且也不能說那樣比是沒有用, 沒有意義的.


所謂 "複數不能比大小", 其實是建立在我們討論實數時對 "比大小"
這件事所要求滿足的特性:
(1) 任何兩數 a, b 或者 a>b, 或者 b>a (也可寫成 a<b), 或者 a=b,
　 三者恰一成立.
(2) 若 a>b, 則對任意 c, 均得 a+c>b+c.
(3) 若 a>b, 則對任意 c>0 得 ac>bc.


由這些基本要求, 可以證明出一些大家熟知的定理. 例如:
[1] a>b 若且唯若 a-b>0. (a-b 定義為 a+(-b).)
[證] a>b, 則 a-b = a+(-b) > b+(-b) = 0;
反之, a-b>0, 則 a = a+(b+(-b)) = (a+(-b))+b = (a-b)+b > 0+b = b.

[2] 若 a>0 則 -a<0. (反之亦然: a<0 則 -a>0.)
[證] 若 a>0, 則 0<a, 所以 -a = 0+(-a) < a+(-a) = 0.

[3] 若 a>b, c<0, 則 ac<bc.
[證]
c<0, 所以 -c>0, 所以 a(-c)>b(-c), 所以 -ac>-bc,
所以 -ac-(-bc) > 0, 所以 -(ac-bc)>0, 所以 ac-bc<0, 所以 ac<bc.



現在回頭來看為什麼說複數不能比大小?
假設在複數系上能定義出一個滿足前述三個基本條件

令 i 為虛數單位.

因 i≠0, 所以 i>0 或 i<0 恰一成立.

設 i>0, 則 -1 = i．i > 0．i = 0.

但可證得 1 > 0, 因此 -1 < 0.

以上兩者矛盾, 表示 i>0 不成立.

設 i < 0, 所以 -1 = i．i > 0．i = 0, 又出現 -1 > 0 的矛盾結果.

所以, 在複數系上無法定出滿足前述三條件的大小順序關係.





2013-10-10 14:08:30 補充：
若是 "比大小" 只是 "排序", 複數當然可以比大小.

定義:
兩複數 x, y, 定義 x < y 為
(1) Re(x) < Re(y), 或
(2) Re(x) = Re(y) 且 Im(x) < Im(y).

則: 若 x≠y, 必有 x < y 或 y < x.

也就是說, 三一律成立.

又: 若 x < y 且 y < z, 則 x < z.
遞移律成立.

與其說不能比較大小，
倒不如說沒有找到有用處的比較大小的方法。
如果純粹只要比較大小而沒有其它用處，
當然是可以比的。

2013-10-01 18:13:45 補充：
在數學上有用處的是遞增或遞減。
如何找到一個定義複數比較大小的方法，
可以有遞增或遞減函數？
以f(z)=z^2為例，
是沒有辦法的。

2013-10-02 07:40:06 補充：
響古，
實數也是實數軸上的點，
還是可以比較大小。

介紹你看一篇文章,作者寫得很清楚,(希望)你應該看得懂.
http://otherchang.pixnet.net/blog/post/25047259-%5B%E7%84%A1%E5%90%8D%5D-%E8%A4%87%E6%95%B8%E8%83%BD%E4%B8%8D%E8%83%BD%E6%AF%94%E5%A4%A7%E5%B0%8F%3F
或看影片:
http://www.youtube.com/watch?v=Ld3OPDeMATw